[論文レビュー] On the Euler-Maruyama approximation for one-dimensional stochastic differential equations with irregular coefficients

Hoang-Long Ngo, Dai Taguchi|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、非連続なドリフトとホルダー連続な拡散係数をもつ1次元SDEに対して、オイラー＝マルヤム方程式の強い収束速度を確立する。著者らは、新たなドリフト除去変換を導入し、ヤマダ＝ワタナベ型推定を活用することで、ドリフトが連続でないか、片側リプシッツでないような広範なクラスのSDEにおいて、$L^p$-supノルムでの収束速度 $1/2$ を証明する。これは、係数の正則性仮定をより弱める条件下で、先行研究を顕著に拡張するものである。

ABSTRACT

We study the strong rates of the Euler-Maruyama approximation for one dimensional stochastic differential equations whose drift coefficient may be neither continuous nor one-sided Lipschitz and diffusion coefficient is Hölder continuous. Especially, we show that the strong rate of the Euler-Maruyama approximation is 1/2 for a large class of equations whose drift is not continuous. We also provide the strong rate for equations whose drift is Hölder continuous and diffusion is nonconstant

研究の動機と目的

• ドリフトが不連続で、かつ片側リプシッツでない場合を含めた、非連続係数をもつ1次元SDEに対するオイラー＝マルヤム近似の強い収束速度を分析すること。
• ドリフト係数に標準的なリプシッツまたは片側リプシッツ条件が課されない場合に、既存の収束結果を拡張すること。
• 係数に最小限の正則性仮定しか課さない状況下で、$L^p$-supノルムおよび$L^1$-supノルムでの収束速度を確立すること。
• 非連続ドリフトとホルダー連続な拡散係数を取り扱えるように、ドリフト除去変換に基づく新たな解析的枠組みを構築すること。

提案手法

• 不規則なドリフトを拡散成分から分離するための新たなドリフト除去変換を導入し、標準的な近似手法の適用を可能にする。
• ホルダー連続な拡散係数に起因する誤差を制御するため、ヤマダ＝ワタナベ型近似手法を適用する。
• ドリフトを有界 variation 項 $b_A$ とホルダー連続項 $b_H$ に分解することで、不規則性を扱う。
• 伊藤等価性とグロワール型不等式を用いて、近似誤差の $L^p$-ノルムをバインドするためのモーメント推定を確立する。
• 局所化技術と定数の精密な追跡を用いて、$\alpha = 0$ の場合の $L^1$-ノルムおよび対数的収束速度を扱う。
• 確率積分のバインドとモーメント不等式（例：補題3.5）を活用し、$b$ と $\sigma$ の正則性条件が異なる状況下での収束速度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリフトが不連続で、ホルダー連続な拡散係数をもつSDEに対して、オイラー＝マルヤムスキームの強い収束速度は何か？
• RQ2 ドリフトが連続でないか、片側リプシッツでない場合に、収束速度 $1/2$ が維持可能か？
• RQ3 ドリフトに有界 variation 成分とホルダー正則性成分が存在する場合、誤差はどのように制御できるか？
• RQ4 標準的なリプシッツ仮定が成り立たない状況で、不規則な係数を取り扱うために有効な解析的手法は何か？
• RQ5 係数に最小限の正則性仮定しか課さない状況で、$L^p$-supノルムでの収束が達成可能か？

主な発見

• ドリフトが不連続で、片側リプシッツでもないような広範なクラスのSDEに対して、オイラー＝マルヤムスキームの強い収束速度は、$L^p$-supノルムで $1/2$ である。
• ホルダー連続なドリフト（指数 $\beta \in (0,1]$）と非定数のホルダー連続な拡散係数をもつSDEでは、収束速度は $\beta/2$ である。
• 拡散係数が $(\alpha + 1/2)$-ホルダー連続（$\alpha \in (0,1/2]$）である場合、$L^p$-supノルムでの収束速度は $1/2 \wedge \frac{p\beta}{2} \wedge p\alpha$ である。
• 場合 $\alpha = 0$ のとき、$L^1$-supノルムでの収束速度は $1/\log n$ であり、拡散の正則性が欠如しているため対数的収束であることを示している。
• ドリフトが $L^1(\mathbb{R})$ に属さない場合でも、ドリフト除去変換により $L^p$-ノルムのバインドを導出可能であり、従来の局所化手法の制限を克服する。
• 上界／下界解や片側リプシッツ条件に依存せず、従来の手法よりもより一般な枠組みを提供する。