[論文レビュー] On the Euler numbers of certain moduli spaces of curves and points

Wei-Ping Li, Zhenbo Qin|ArXiv.org|Aug 7, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、1次元のファイバーを持つザリスキ局所自明なファイブレーションを持つ滑らかで射影的な多様体に含まれる1次元閉部分スキームのモジュライ空間の位相的オイラー数を計算する。仮想ホッジ多項式とトーラス作用を用いて、ヒルベルトスキームと点的分割を用いて、これらのオイラー数の母関数を導出し、r ≤ 3 または カラビ・ヤウ3次元多様体の場合に、有理関数性および q → 1/q におけるモジュラー不変性に関する予想を検証する。

ABSTRACT

We determine the topological Euler number of certain moduli space of 1-dimensional closed subschemes in a smooth projective variety which admits a Zariski-locally trivial fibration with 1-dimensional fibers. The main approach is to use virtual Hodge polynomials and torus actions. The results might shed some light on the corresponding Donaldson-Thomas invariants.

研究の動機と目的

• 滑らかで射影的な多様体に、1次元ファイバーを持つザリスキ局所自明なファイブレーション構造を備えた1次元閉部分スキームのモジュライ空間の位相的オイラー数を決定すること。
• これらのオイラー数とドナルドソン＝トーマス不変量との関係、特にカラビ＝ヤウ3次元多様体の文脈における関係を調査すること。
• オイラー数の削減された分割関数の有理関数性および q → 1/q における不変性に関する予想を検証すること。
• ヒルベルトスキームと点的 r 次元分割を用いて、これらのモジュライ空間のオイラー数の母関数の公式を確立すること。

提案手法

• 1次元ファイバーを持つファイブレーション構造 $\mu: X \to S$ を用いて、モジュライ空間 $\mathfrak{M}_n$ を局所的に閉じた部分集合に分解する。
• これらの部分集合と $\mathbb{C}^{r-1} \times C$ 上のモデル空間との間の全単射な準同型を構成し、問題を局所的計算に還元する。
• 分解および全単射の下でもオイラー数の情報を保つように、仮想ホッジ多項式を適用する。
• ヒルベルトスキームのためのチエアの組合せ的枠組みを用いて、計算を点的ヒルベルトスキームおよび点的分割に還元する。
• トーラス作用を $\mathfrak{M}_{n,L,O}^{\mathbb{C}^r}$ および $\mathrm{Hilb}^n(\mathbb{C}^r, O)$ に適用し、点的 r 次元分割を用いてオイラー数を計算する。
• 生成関数 $\widetilde{P}_r(n)$ および $P_r(n)$ を導出し、$r=3$ の場合に $\sum \widetilde{P}_3(n) q^n = \sum P_3(n) q^n / (1 - q)$ を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 削減された分割関数 $\sum \chi(\mathfrak{I}_n(X,\beta)) q^n / \sum \chi(X^{[n]}) q^n$ は $q$ の有理関数か？
• RQ2 $K_X = 0$ のとき、この分割関数は $q \to 1/q$ 不変性を満たすか？
• RQ3 $\mathfrak{M}_n = \mathfrak{I}_{(1-g)+n}(X,\beta)$ のオイラー数は、ヒルベルトスキームと点的分割で表現可能か？
• RQ4 $\sum \widetilde{P}_r(n) q^n / \sum P_r(n) q^n = 1/(1 - q)^{r-2}$ が $r \geq 2$ に対して成り立つか？
• RQ5 $X$ が genus-$g$ ファイバーを持つ滑らかな底多様体へのファイブレーションであるとき、モジュライ空間 $\mathfrak{M}_n$ の正確な構造は何か？

主な発見

• モジュライ空間 $\mathfrak{M}_n$ のオイラー数の母関数は、$\sum \chi(\mathfrak{M}_n) q^n = \left(\sum \chi(X^{[n]}) q^n\right) \cdot \chi(S) \cdot \left(\sum \widetilde{P}_r(n) q^n / \sum P_r(n) q^n\right)^{2-2g}$ で与えられる。
• $r = 3$ の場合、生成関数の恒等式 $\sum \widetilde{P}_3(n) q^n = \sum P_3(n) q^n / (1 - q)$ が、生成関数の恒等式および平面分割の生成関数の極限を用いて証明される。
• 有理関数性および $q \to 1/q$ 不変性に関する予想は、$2 \leq r \leq 3$ または $K_X = 0$（$g = 1$ を意味する）の場合に成り立つ。
• $\mathfrak{M}_n$ のオイラー数は、仮想ホッジ多項式とトーラス作用を用いて計算され、点的 $r$-次元分割に還元される。
• $2 \leq r \leq 3$ に対して、公式 $\sum \chi(\mathfrak{M}_n) q^n = \left(\sum \chi(X^{[n]}) q^n\right) \cdot \chi(S) \cdot (1 - q)^{-(r-2)(2-2g)}$ が確立される。
• 証明は、$\mathfrak{M}_n$ の局所的に閉じた部分集合への分解、モデル空間への全単射準同型、およびチエアの理論による組合せ的還元に依拠する。