[論文レビュー] On the evolution of random graphs on spaces of negative curvature

Nikolaos Fountoulakis|arXiv (Cornell University)|May 14, 2012

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 16被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、双曲空間上におけるランダム幾何グラフモデルを厳密に分析しており、辺の形成は双曲的距離と温度に類似したパラメータβに依存する。β=1で段階的転移が発生する：β>1では次数は有界であり、パワーロー尾根を示す。β<1では期待次数がNの多項式的に増加する。β=1では次数が対数的に増加する。

ABSTRACT

In this work, we study a family of random geometric graphs on hyperbolic spaces. In this setting, N points are chosen randomly on a hyperbolic space and any two of them are joined by an edge with probability that depends on their hyperbolic distance, independently of every other pair. In particular, when the positions of the points have been fixed, the distribution over the set of graphs on these points is the Boltzmann distribution, where the Hamiltonian is given by the sum of weighted indicator functions for each pair of points, with the weight being proportional to a real parameter β&gt;0 (interpreted as the inverse temperature) as well as to the hyperbolic distance between the corresponding points. This class of random graphs was introduced by Krioukov et al. We provide a rigorous analysis of aspects of this model and its dependence on the parameter β, verifying some of their observations. We show that a phase transition occurs around β=1. More specifically, we show that when β&gt; 1 the degree of a typical vertex is bounded in probability (in fact it follows a distribution which for large values exhibits a power-law tail whose exponent depends only on the curvature of the space), whereas for β&lt;1 the degree is a random variable whose expected value grows polynomially in N. When β= 1, we establish logarithmic growth. For the case β&gt; 1, we establish a connection with a class of inhomogeneous random graphs known as the Chung-Lu model. Assume that we use the Poincaré disc representation of a hyperbolic space. If we condition on the distance of each one of the points from the origin, then the probability that two given points are adjacent is expressed through the kernel of this inhomogeneous random graph.

研究の動機と目的

• 双曲空間上でのランダム幾何グラフモデルの数学的厳密な分析を提供すること。このモデルは、これまで非厳密にのみ研究されてきた。
• 逆温度と解釈されるパラメータβが、得られるランダムグラフの構造的性質をどのように支配するかを調査すること。
• グラフの次数分布および接続性挙動において、β=1で段階的転移が存在することを確立すること。
• β>1の場合に、径方向距離を条件付けた下で、このモデルをChung-Luの非一様ランダムグラフモデルと結びつけること。
• βの異なる領域における頂点次数の漸近的挙動を特定すること

提案手法

• ハミルトニアンが重み付き辺インジケータの和であるボルツマン分布を用いてランダムグラフをモデル化し、重みはβと双曲的距離に比例する。
• 曲率−ζ²のパンルベ円板表現を用い、N個の点を径方向密度ρ(r) = α sinh(αr)/(cosh(αR)−1)に従って配置する。ここでN = exp(ζR/2)である。
• 2点u,v間の辺確率をp_{u,v} = 1 / (exp(βζ/2 (d(u,v)−R)) + 1)として定義し、双曲的距離が増加するに従い減少する。
• 径方向距離を条件付け、Chung-Luモデルへの接続を導出する。ここで辺確率は径方向位置から導かれる頂点重みに依存する。
• 頂点ペアの集合にわたる和集合による不等式を用い、角方向および径方向の積分推定値を用いて辺確率のずれを制御する。
• e^{ζt/2}ρ(t)およびρ(t)を含む積分の漸近的解析を用い、期待次数および尾根確率を評価する。特にβ>1およびβ<1の領域で重点を置く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N→∞のとき、双曲空間上におけるランダム幾何グラフモデルの典型頂点の次数分布の漸近的挙動は、パラメータβに依存してどのように変化するか？
• RQ2 β=1で段階的転移が発生するか。もしそうならば、期待次数および接続構造にどのように影響を与えるか？
• RQ3 β>1の場合に、このモデルはChung-Lu非一様ランダムグラフモデルとどのように関係するか。径方向距離を条件付けた際の意義は何か？
• RQ4 βの異なる値に対して、グラフの直径、クラスタ係数、コンponent構造の挙動はどのように変化するか？
• RQ5 β≤1のとき、グラフは連結であるか。この領域でハミルトン的である可能性はあるか？

主な発見

• β=1で段階的転移が発生する：β>1では、典型頂点の次数は確率的に有界であり、曲率ζにのみ依存する指数のパワーロー尾根を示す。
• β<1では、典型頂点の期待次数はNの多項式的に増加し、特に与えられたスケーリング下でO(N^{1−βζ/2})として表される。
• β=1では、典型頂点の期待次数はNに関して対数的に増加する。すなわちΘ(log N)である。
• β>1では、径方向距離を条件付けた下で、このモデルはChung-Luモデルと結びつけることができる。辺確率は径方向位置から導かれるカーネルに依存する。
• 頂点が遠く離れた頂点に接続する確率は距離とともに指数的に減少し、この減少はβによって調整され、観察された段階的転移を引き起こしている。
• 潜在的近傍点に対する和集合不等式により、頂点が遠く離れた角領域に近傍を持つ確率はN→∞で消えることが示され、β>1におけるスパarsityおよびパワーロー挙動を支持する。