[論文レビュー] On the Exact Amount of Missing Information that makes Finding Possible Winners Hard

Palash Dey, Neeldhara Misra|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2016

Game Theory and Voting Systems被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Borda や plurality を含む広範な投票ルール（スコアリングルール、Copelandα、maximin、Bucklin）において、部分的投票における欠落したペアワイズ比較の正確な閾値を特定し、その閾値を超えると Possible Winner 問題が NP 困難になることを示している。多くのこれらのルールについて、各投票でたった1組の未決定ペアがある場合でも問題が NP 困難であることが証明されている一方、未決定ペアが存在しない場合には多項式時間で解けることから、不完全情報における投票システムの計算的境界を明確にしている。

ABSTRACT

We consider election scenarios with incomplete information, a situation that arises often in practice. There are several models of incomplete information and accordingly, different notions of outcomes of such elections. In one well-studied model of incompleteness, the votes are given by partial orders over the candidates. In this context we can frame the problem of finding a possible winner, which involves determining whether a given candidate wins in at least one completion of a given set of partial votes for a specific voting rule. The possible winner problem is well-known to be NP-complete in general, and it is in fact known to be NP-complete for several voting rules where the number of undetermined pairs in every vote is bounded only by some constant. In this paper, we address the question of determining precisely the smallest number of undetermined pairs for which the possible winner problem remains NP-complete. In particular, we find the exact values of $t$ for which the possible winner problem transitions to being NP-complete from being in P, where $t$ is the maximum number of undetermined pairs in every vote. We demonstrate tight results for a broad subclass of scoring rules which includes all the commonly used scoring rules (such as plurality, veto, Borda, $k$-approval, and so on), Copeland$^α$ for every $α\in[0,1]$, maximin, and Bucklin voting rules. A somewhat surprising aspect of our results is that for many of these rules, the possible winner problem turns out to be hard even if every vote has at most one undetermined pair of candidates.

研究の動機と目的

• 共通の投票ルールにおいて、各投票ごとの未決定ペアワイズ比較の正確な数が Possible Winner 問題を NP 困難にさせる条件を特定すること。
• 具体的には、問題が P から NP 困難に移行する境界となる、最小限の欠落情報量を特定する計算的境界を確立すること。
• スコアリングルールの広いクラスに対して、NP 困難性が現れる t（各投票における未決定ペアの最大数）の正確な値を同定することで、複雑性の二分法を解明すること。
• 部分的投票における欠落したペアワイズ比較の数に基づいて、Possible Winner 問題の複雑性を完全に分類すること。

提案手法

• 著者たちは、t 個の未決定ペアを含む部分的投票の構造を分析し、3次元マッチングなどの既知の NP 困難問題からの還元を構築することで、難易度を証明している。
• m 個の候補に対するスコアベクトルから、端点での複製または拡張によって m+1 個の候補に対するスコアベクトルが得られる「スムーズな」スコアリングルールのクラスを定義している。
• 各投票ルールについて、特に (α+1,α+1,α) や (α+2,α+1,α+1,α) のようなパターンの存在を含むスコアベクトルの構造に基づいて、ケース解析を実施し、閾値 t を同定している。
• 最大フロー技術と組合せ的議論を用いて、候補の順位付けをモデル化し、特定の部分的投票の完成方法でのみ、特徴的な候補 c が勝利可能であることを検証している。
• 3次元マッチングインスタンスから、制御された欠落情報を持つ Possible Winner インスタンスへの変換を設計し、同値性を保持している。
• 特定のルールについて、t ≤ 1 の場合に多項式時間で解けることを、c を優先順位に置いた適切に構築された拡張上で k-approval アルゴリズムを活用することで証明している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スコアリングルールにおいて、各投票における未決定ペアワイズ比較の最小数が、Possible Winner 問題を NP 困難にするのはどの程度か？
• RQ2 どのスコアリングルールのクラスにおいて、各投票にたった1つの未決定ペアがある場合でも、問題が NP 困難のまま残るか？
• RQ3 スコアベクトルの構造、たとえば繰り返しや連続するスコア差が、複雑性の閾値に依存するか？
• RQ4 Copelandα、maximin、Bucklin 投票ルールにおいて、1つの欠落ペアワイズ比較で十分に NP 困難性を確立できるか？
• RQ5 すべての検討された投票ルールにおいて、t ≤ t₀ のとき問題が P に属し、t ≥ t₀ + 1 のとき NP 困難になるような正確な t が存在するか？

主な発見

• 2つの異なる非ゼロの連続スコア差を持つすべてのスコアリングルールにおいて、Possible Winner 問題は t ≤ 1（各投票にたった1組の未決定ペア）であっても NP 困難である。
• パターン (α+1, α+1, α) を含むスコアリングルールでは、t ≥ 2 のとき NP 困難であり、t ≤ 1 のとき P に属する。
• パターン (α+2, α+1, α+1, α) を含むスコアリングルールでは、t ≥ 3 のとき NP 困難であり、t ≤ 2 のとき P に属する。
• k-approval および k-veto ルール（k > 1）では、t ≥ 4 のとき NP 困難であり、t ≤ 3 のとき P に属する。
• スコアリングルール (2,1,1,…,1,0) では、t ≥ m−1 のとき NP 困難であり、t ≤ m−2 のとき P に属する。
• Copelandα、maximin、Bucklin 投票ルールでは、t ≤ 2 であっても NP 困難であることが示されており、2つの欠落比較で十分に困難性が生じることを示している。