[論文レビュー] On the exact discrete Lagrangian function for variational integrators: theory and applications

Juan Carlos Marrero, David Martı́n de Diego+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2016

Numerical methods for differential equations参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、リー群コホーホロジーとリー代数を用いて、変分積分法における正確な離散ラグランジアンの厳密な構成を提示し、多様な力学系における幾何的数値積分の統一的枠組みを可能にする。主な貢献は、正確な軌道と離散的軌道の差異を定量化する変分的誤差解析であり、対称空間上のオイラー＝ポワンカレおよびラグランジュ＝ポワンカレ方程式への応用を含む。

ABSTRACT

In this paper, we will give a rigorous construction of the exact discrete Lagrangian formulation associated to a continuous Lagrangian problem. Moreover, we work in the setting of Lie groupoids and Lie algebroids which is enough general to simultaneously cover several cases of interest in discrete and continuous descriptions as, for instance, Euler-Lagrange equations, Euler-Poincaré equations, Lagrange-Poincaré equations... The construction of an exact discrete Lagrangian is of considerable interest for the analysis of the error between an exact trajectory and the discrete trajectory derived by a variational integrator.

研究の動機と目的

• リー群コホーホロジーとリー代数を用いて、一般の幾何的枠組みを構築し、正確な離散ラグランジアンを構成すること。
• オイラー＝ポワンカレおよびラグランジュ＝ポワンカレ方程式を含む、異なる力学系における変分積分法の取り扱いを統一すること。
• 変分積分法によって生成される離散的軌道と、正確な連続的軌道を比較することで、精密な変分的誤差解析を可能にすること。
• リー代数上の2階微分方程式に対する凸性定理を確立し、離散作用原理の適切な定義を保証すること。
• リー群コホーホロジーの枠組みにおいて、離散オイラー＝ラグランジュ方程式および離散ルジャンドル変換の内在的・幾何的表現を提供すること。

提案手法

• リー代数およびリー群コホーホロジー上の連続的および離散的ラグランジュ力学を形式化し、標準的な接バンドルおよびリー群上の力学を一般化する。
• 2つの配置空間の点を結ぶ正確な解曲線に 沿った作用積分を用いて、正確な離散ラグランジアンを定義する。
• リー代数およびその関連する左不変ベクトル場の理論を用いて、離散的運動の内在的表現を導出する。
• リー代数上の2階微分方程式に対する凸性定理を適用し、離散オイラー＝ラグランジュ方程式の解の存在および一意性を保証する。
• 離散ルジャンドル変換を構築し、リー群コホーホロジーの枠組みにおいて離散時間発展作用素のシンプレクティック性を分析する。
• 正確な離散ラグランジアンと変分積分法による作用和を比較することで、変分的誤差解析を実施し、局所切り捨て誤差を定量化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー群コホーホロジーとリー代数の一般的設定において、正確な離散ラグランジアンをどのように厳密に構成できるか。
• RQ2 この枠組みにおいて、離散オイラー＝ラグランジュ方程式の解の存在および一意性を保証する必要十分条件は何か。
• RQ3 正確な離散ラグランジアンは、どのようにして変分積分法のための精密な誤差解析を可能にするか。
• RQ4 リー群コホーホロジーおよびリー代数の形式的枠組みは、オイラー＝ポワンカレおよびラグランジュ＝ポワンカレ方程式のような異なる力学系の取り扱いをどのように統一するか。
• RQ5 リー代数上の離散ラグランジアン形式の正則性および安定性を保証する凸性条件は何か。

主な発見

• 正確な離散ラグランジアンは、連続系の正確な解曲線に沿った作用積分として構成され、誤差解析の基準として機能する。
• 正確な離散ラグランジアンから導かれる離散オイラー＝ラグランジュ方程式は、正確な運動を再現し、誤差は積分法の局所切り捨て誤差によって上限づけられる。
• リー代数上の2階微分方程式に対する凸性定理により、離散変分問題の解の正則性および一意性が保証される。
• 離散ルジャンドル変換は適切に定義されており、シンプレクティック性を保ち、連続系の幾何的構造を維持する。
• この枠組みは、行列リー群および自明な主バンドルに対して、オイラー＝ポワンカレおよびラグランジュ＝ポワンカレ方程式に一般化可能であり、明示的な構成が提供されている。
• 変分的誤差解析により、正確な軌道と離散的軌道の間の誤差が、リー群コホーホロジーの幾何構造およびラグランジアンの正則性によって定量的に制御されることを示した。