[論文レビュー] On the excedance number of colored permutation groups

Eli Bagno, David Garber|ArXiv.org|May 20, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 1被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、対称群から色付き置換群 $G_{r,n}$ および $D_n$ 型のコxeter群へ、超過、固定点、サイクル数に関するオイラー多項式の恒等式を一般化する。色付き置換に二種類の順序付け（絶対順序と色を考慮した順序）を導入したが、驚くべきことに両者で同一の母関数公式が得られ、$s = -1$ のとき、超過、固定点、サイクルの多分布に対して閉形式が得られる。主な結果は、$G_{r,n}$ および $D_n$ の両順序において、これらの統計量に対する母関数が一致することであり、これはクラスカルの結果を拡張するものである。

ABSTRACT

We generalize the results of Ksavrelof and Zeng about the multidistribution of the excedance number of $S_n$ with some natural parameters to the colored permutation group and to the Coxeter group of type $D$. We define two different orders on these groups which induce two different excedance numbers. Surprisingly, in the case of the colored permutation group, we get the same generalized formulas for both orders.

研究の動機と目的

• 対称群 $S_n$ から色付き置換群 $G_{r,n}$ およびコxeter群 $D_n$ へ、超過、固定点、サイクル数の多分布を拡張すること。
• 色付き置換群 $G_{r,n}$ のアルファベットに二種類の順序を定義すること：色を無視する（絶対順序）と色構造を尊重する（色を考慮した順序）。
• これらの二つの順序の間で、超過統計の一般化された母関数が異なるかどうかを調査すること。
• $s = -1$ のとき、母関数 $P_{G_{r,n}}(q,t,s)$ および $P_{D_n}(q,t,s)$ の閉形式を導出すること、特に $t=1$ および $t=0$ の場合。

提案手法

• アルファベット $Σ = \{1, \dots, n, \bar{1}, \dots, \bar{n}, \dots, 1^{[r-1]}, \dots, n^{[r-1]}\}$ に二種類の順序を定義する：絶対順序と色を考慮した（Clr）順序。
• 各順序に基づいて超過数 $\mathrm{exc}(\pi)$ を定義する：$\mathrm{exc}^{\rm Abs}(\pi)$ および $\mathrm{exc}^{\rm Clr}(\pi)$。
• 両順序に対して、生成関数 $P_{G_{r,n}}(q,t,s) = \sum_{\pi \in G_{r,n}} q^{\mathrm{exc}(\pi)} t^{\mathrm{fix}(\pi)} s^{\mathrm{cyc}(\pi)}$ を構築する。
• 最後の数字とサイクル構造に基づいて $G_{r,n}$ および $D_n$ を部分集合に再帰的に分解し、母関数の再帰的関係を導出する。
• 殺しの対合写像および部分集合間の双対写像を用いて、$P_{G_{r,n}}(q,t,s)$ を $P_{G_{r,n-1}}(q,t,s)$ および $P_{D_n}(q,t,s)$ を $P_{D_{n-1}}(q,t,s)$ に結びつける。
• 得られた再帰的関係を解き、$P_{G_{r,n}}(q,1,-1)$、$P_{G_{r,n}}(q,0,-1)$、$P_{D_n}^{\rm Clr}(q,1,-1)$、$P_{D_n}^{{\rm Abs}}(q,1,-1)$ の閉形式を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 色付き置換群 $G_{r,n}$ のアルファベットにおける順序の選択（絶対順序対色を考慮した順序）が、$s = -1$ 時の超過、固定点、サイクル数の母関数に影響を与えるか？
• RQ2 色付きアルファベットに二種類の順序を用いることで、$S_n$ における古典的オイラー恒等式（$s = -1$ 時）を $G_{r,n}$ および $D_n$ に一般化できるか？
• RQ3 定義が異なるにもかかわらず、$G_{r,n}$ において二つの順序で同じ閉形式の公式が得られるのはなぜか？
• RQ4 $D_n$ のコxeter群における母関数 $P_{D_n}(q,t,s)$ は、色を考慮した順序および絶対順序の下でどのように構造化されるか？
• RQ5 $G_{r,n}$ および $D_n$ の再帰的構造は、$s = -1$ 時の母関数の閉形式を導出するためにどのように寄与するか？

主な発見

• 色付き置換群 $G_{r,n}$ において、絶対順序の下で母関数は $P_{G_{r,n}}^{\rm Abs}(q,1,-1) = (q^r - 1) P_{G_{r,n-1}}(q,1,-1)$ を満たし、閉形式 $P_{G_{r,n}}^{\rm Abs}(q,1,-1) = -\frac{(q^r - 1)^n}{q - 1}$ を得る。
• $G_{r,n}$ において、色を考慮した順序の下で母関数は $P_{G_{r,n}}^{\rm Clr}(q,1,-1) = (q^r - 1) P_{G_{r,n-1}}(q,1,-1)$ を満たし、絶対順序と同一の閉形式を得る。
• Derangement に対して、両順序で $P_{G_{r,n}}^{\rm Abs}(q,0,-1) = P_{G_{r,n}}^{\rm Clr}(q,0,-1) = -q[r]_q^n [n-1]_q$ が成り立つ。ここで $[r]_q = \frac{1 - q^r}{1 - q}$ である。
• $D_n$ において色を考慮した順序の下で、$P_{D_n}^{\rm Clr}(q,1,-1) = (q^2 - 1) P_{D_{n-1}}^{\rm Clr}(q,1,-1)$ であり、$P_{D_n}^{\rm Clr}(q,1,-1) = (1 - q^2)^{n-1}$ が得られる。
• $D_n$ において絶対順序の下で、$P_{D_n}^{{\rm Abs}}(q,1,-1) = (q - 1)(P_{D_{n-1}}^{{\rm Abs}}(q,1,-1) + q P_{D_{n-1}^c}^{{\rm Abs}}(q,1,-1))$ であり、$P_{D_n}^{{\rm Abs}}(q,1,-1) = -\frac{1}{2}(q - 1)^{n-1} \left( (1 + q)^n + (1 - q)^n \right)$ が得られる。
• $G_{r,n}$ および $D_n$ の母関数が $s = -1$ 時、古典的結果（Ksavrelof および Zeng の結果）を一般化し、$G_{r,n}$ の順序の選択に関わらず同一の公式が得られる。