[論文レビュー] On the exceptional zeros of Rankin-Selberg L-functions

Dinakar Ramakrishnan, Song Wang|ArXiv.org|Aug 8, 2001

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、モジュラー形式およびその対称冪に関連するランキン・セルバーグL関数の例外的零点（ランキン＝シルバーマン零点）を調査する。関手性および正値性の議論を用いて、このような零点が存在する場合、それらはL関数を割り切る二次のディリクレL関数に起因するのみであることを証明し、s=1の近傍における対称第六・第八冪L関数の有効な正則性評価を確立する。これにより、スペクトルノルムおよび係数評価への応用が得られる。

ABSTRACT

The main objects of study in this article are two classes of Rankin-Selberg L-unctions, namely L(s, f imes g) and L(s, sym^2(g) imes sym^2(g)), where f, g are newforms, holomorphic or of Maass type, on the upper half plane, and sym^2(g) denotes the symmetric square lift of g to GL(3). We prove that in general, i.e., when these L-functions are not divisible by L-functions of quadratic characters (such divisibility happening rarely), they do not admit any Landau-Siegel zeros. These zeros, which are real and close to s=1, are highly mysterious and are not expected to occur. There are corollaries of our result, one of them being a strong lower bound for special value at s=1, which is of interest both geometrically and analytically. One also gets this way a good bound on the norm of sym^2(g).

研究の動機と目的

• GL(2)およびGL(3)上の自動形式に関連して、ランキン・セルバーグL関数 $ L(s,\pi \times \pi') $ が $ s=1 $ の近傍に例外的零点をもつ条件を特定すること。
• 関連するL関数における例外的零点の不在を用いて、マース形式の $ \text{sym}^2(f) $ のペトロフノルムに対する鋭い評価を得ること。
• 自明な特徴を持つ正則な新形式の対称第六・第八冪L関数が、$ M $ を厚化された導子として、$ (1 - \frac{c}{\log M}, 1) $ で正則であることを証明すること。
• $ s=1 $ の近傍における $ L(s, \text{sym}^2(g) \times \text{sym}^2(g)) $ の非零性を用いて、$ \text{sym}^2(g) $ のスペクトル的に正規化された最初のフーリエ係数 $ a(1,1) $ の上界を導出すること。

提案手法

• 関心のあるL関数で割り切れる正のディリクレ級数 $ D(s) $ を構成し、$ D(s)/L(s)^k $ が $ s=1 $ の右近傍で正則であるようにすることで、例外的零点を検出する方法を用いる。
• ゴールドフェルト、ホフスタイン、リーマン、ロッカートによる、非二面体的 $ \pi $ に対する $ L(s, \text{sym}^2(\pi)) $ の非零性に関する既知の結果を適用する。
• 局所ラングランズ対応および表現論を用いて、有限およびアーチメデス的場所における対称冪L関数の正則性を分析する。
• キムとシャハイディによる第8次までの対称冪の自動性に関する研究に依拠し、$ F/\mathbb{Q} $ がガロア的でかつ二次体を含まないとき、$ \zeta_F^S(s) $ は例外的零点を持たないという事実を用いる。
• 恒等式 $ L(s, \text{sym}^6(\pi)) = L(s, \text{sym}^2(\pi)) \cdot L(s, \text{sym}^4(\pi); \Lambda^2) $ を用いて、問題を既知の正則性結果に還元する。
• 非分岐またはテンパードな局所成分を持つ $ \pi $ は、$ \Re(s) > 1/2 $ で正則な対称冪L関数を与えるが、これを分岐でない場所から離れた不完全L関数へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランキン・セルバーグL関数 $ L(s, \pi \times \pi') $ が $ s=1 $ の近傍に例外的零点をもつ条件は何か？
• RQ2 $ L(s, \pi \times \pi') $ の例外的零点が、それを割り切る二次のディリクレL関数に起因する割合はどの程度か？
• RQ3 モジュラー形式の対称第六・第八冪L関数における有効な正則性帯 $ (1 - \frac{c}{\log M}, 1) $ は何か？
• RQ4 $ L(s, \text{sym}^2(\pi)) $ における例外的零点の不在が、$ \text{sym}^2(f) $ のノルムに対する評価に与える影響は何か？
• RQ5 $ L(s, \text{sym}^2(g) \times \text{sym}^2(g)) $ の解析的性質を用いて、$ \text{sym}^2(g) $ のスペクトル的に正規化された最初のフーリエ係数 $ a(1,1) $ に対する上界を導出可能か？

主な発見

• $ L(s, f \times g) $ および $ L(s, \text{sym}^2(g) \times \text{sym}^2(g)) $ の例外的零点の集合は、それらを割り切る二次のディリクレL関数の例外的零点の和集合に正確に一致する。
• SL(2,\mathbb{Z}) 上のマース形式 $ f $ に対して、$ \text{GL}(3)/\mathbb{Q} $ 上の $ \text{sym}^2(f) $ のノルムは、ラプラシアン固有値 $ \lambda $ を用いた鋭い下界をもつ。これは、$ f $ のペトロフノルムに既知の評価と類似している。
• 自明な特徴を持つ正則な新形式の対称第六・第八冪L関数は、$ c > 0 $ が有効な普遍定数で、$ M $ を厚化された導子として、$ (1 - \frac{c}{\log M}, 1) $ で正則である。
• スペクトル的に正規化された最初のフーリエ係数 $ a(1,1) $ の $ \text{sym}^2(g) $ は、$ s=1 $ の近傍における $ L(s, \text{sym}^2(g) \times \text{sym}^2(g)) $ の非零性から導かれる良好な上界をもつ。
• 不完全L関数 $ L^S(s, \pi; \text{sym}^6) $ は $ (1 - \frac{c}{\log M}, 1) $ で正則であり、$ F $ が $ \mathbb{Q} $ のガロア拡大で二次体を含まないとき、$ \text{sym}^8 $ に対しても同様の結果が成り立つ。
• 証明は、与えられた仮定の下で例外的零点が存在しないことから導かれる、$ L(s, \text{sym}^4(\pi)) $ および $ \zeta_F^S(s) $ の非零性に依拠している。