[論文レビュー] On the existence and analycity of solitary waves solutions to a two-dimesional Benjamin-Ono equation

Germán Preciado López, Félix H. Soriano Méndez|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2次元のベンジャミン＝オノ方程式の一般化における、両方の空間的方向におけるヒルベルト変換を含む非局所分散項を有する孤立波解の存在、正則性、および実解析性を確立する。存在性の証明にはミニマックス法を、解析性の証明には補間空間とリツォルキンの定理を用い、パラメータλとμに一般な条件が与えられた場合に、孤立波が平面全体で実解析的関数であることを証明する。

ABSTRACT

We show the existence, regularity and analyticity of solitary waves associated to the following equation \begin{eqnarray*} (u_t+u^{p}u_x+ \mathcal H\partial_x^2u+ λ\mathcal H\partial_y^2u)_x +μu_{yy}=0, \end{eqnarray*} where $\mathcal H$ is the Hilbert transform with respect to $x$ and $λ$ and $μ$ are nonnegative real numbers, not simultaneously zero.

研究の動機と目的

• 混合非局所分散項を有する2次元のベンジャミン＝オノ方程式の孤立波解の存在を確立すること。
• これらの孤立波解が2次元空間全体で正則性および実解析的であることを証明すること。
• 特に、類似方程式に関する先行研究における補題3.4の不完全な証明を是正すること。
• 非局所作用素を含む多次元設定における孤立波の解析的理論を拡張すること。
• 補間空間と重み付きソボレフ型ノルムを用いた厳密な関数解析的枠組みを提供すること。

提案手法

• ソボレフ空間枠組み$H^s \cap X^{1/2}$におけるミニマックス理論を用いて、孤立波解の存在を証明する。
• 補間空間技術を用いて、特にヒルベルト変換と分数階微分を含む解の正則性を制御する。
• リツォルキンの定理（$L^p$空間における乗数の理論）を適用し、Fourier乗数の$L^p$有界性を用いて解の解析性を確立する。
• 多重指数$\alpha$に関する帰納法を用い、高階微分$\partial^\alpha \phi$の$H^2$ノルムを$C |\alpha|! (R/2)^{|\alpha|}$で抑え、実解析性を保証する。
• Banach代数性とFaa di Bruno型の公式を用いて非線形項の微分を制御する。
• 方程式$\mathcal{H}\partial_x^3\phi + \mathcal{H}\partial_x\partial_y^2\phi - \partial_y^2\phi = -\partial_x^2(\phi^2/2 - c\phi)$の構造を活用し、重み付き推定を構築して非線形項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混合非局所分散項を有する2次元ベンジャミン＝オノ方程式に対して、孤立波解が存在するか？
• RQ2 ヒルベルト変換と2階微分項が混合された状況下でも、これらの孤立波解は空間変数に関して実解析的か？
• RQ3 乗数理論と$L^p$空間における重み付きノルム推定を用いて、解の解析性を確立できるか？
• RQ4 パラメータ$\lambda$と$\mu$は、解の正則性および解析性にどのように寄与するか？
• RQ5 補間空間と重み付きソボレフノルムは、存在性および解析性の証明にどのように寄与するか？

主な発見

• 存在性は、$s > 2$に対して、空間$H^s \cap X^{1/2}$におけるミニマックス法を用いて厳密に証明された。
• 孤立波解は、$\mathbb{R}^2$上で実解析的関数であり、ある$R > 0$に対して$\|\partial^\alpha \phi\|_{H^2} \leq C |\alpha|! (R/2)^{|\alpha|}$を満たすことが示された。
• 先行研究における補題3.4の欠落した正当化を是正し、孤立波の解析性に関する完全で厳密な議論を提供した。
• 解析性は、方程式の線形部から導かれる特定のFourier乗数の有界性を用い、リツォルキンの定理によって確立された。
• パrameter $\lambda > 0, \mu = 0$ および $\lambda = 0, \mu > 0$ の両ケースに一様に適用可能であり、補間推定の適切な修正が施された。
• 非線形項$\phi^2/2 - c\phi$は、Faa di Bruno型展開と$H^2$代数性を用いて取り扱われ、帰納法の段階で微分の制御が保証された。