[論文レビュー] On The Existence of an Invariant Measure for Isotropic Diffusions in Random Environment

Benjamin Fehrman|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2014

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$d \geq 3$ における $\mathbb{R}^d$ 上のランダム環境における等方的拡散過程について、定常性、有限範囲の依存性、制限された等方性の下で、ブラウン運動の小さな摂動である場合に、一意な不変測度の存在を確立する。主な結果は、過程の分布が、元の確率測度 $\mathbb{P}$ に関して絶対連続である一意な不変測度 $\pi$ に収束することであり、これにより、局所的に可測な初期データに対する一般化されたホモジゲニゼーション結果が得られる。

ABSTRACT

The results of this paper build upon those first obtained by Sznitman and Zeitouni in [11]. We establish, for spacial dimensions greater than two, the existence of a unique invariant measure for isotropic diffusions in random environment which are small perturbations of Brownian motion. Furthermore, we establish a general homogenization result for initial data which are locally measurable with respect to the coefficients.

研究の動機と目的

• $d \geq 3$ における $\mathbb{R}^d$ 上のランダム環境における等方的拡散過程に対して、一意な不変測度の存在を確立すること。
• Sznitman と Zeitouni [11] の結果を、ブラウン運動からの小さな摂動を受ける連続時間の拡散過程へと拡張すること。
• ランダム係数に関して局所的に可測な初期データに対して、一般ホモジゲニゼーション結果を証明すること。
• 不変測度 $\pi$ を、指数関数的に増加する時間スケールに沿った後向きコルモゴロフ方程式の解の極限として特徴付けること。

提案手法

• 初期データ $f_E(x,\omega) = \mathbf{1}_E(\tau_x\omega)$ を持つ後向きコルモゴロフ方程式の解 $u(x,t,\omega)$ の長時間挙動を分析する。
• 不変測度 $\pi(E)$ を、指数関数的に増加する時間スケール $L_n^2$ 沿いの極限 $\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[u_E(0, L_n^2, \omega)]$ として特定する。
• [11] からのカップリング技法を用いて、大規模な空間・時間スケールで、拡散過程が確率的に高い確率で決定的ブラウン運動にカップリングすることを示す。
• 環境群 $\{\tau_x\}_{x \in \mathbb{R}^d}$ のエルゴディシティを用いて、$\pi$ と $\mathbb{P}$ が互いに絶対連続であり、$\Omega$ 上の正規可積分マルコフ過程に対してエルゴディック測度を定義することを証明する。
• 有限範囲の依存性条件を満たす指示関数を持つ集合 $E$ のクラスに対して、ほとんど確実な収束 $\lim_{t \to \infty} u_E(0,t,\omega) = \pi(E)$ が成り立つことを示す。
• 後向き方程式の時間積分を用いて、解と不変測度を関連させることで、周期的係数を伴う方程式のホモジゲニゼーション結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定常性と有限範囲の依存性の下で、$d \geq 3$ における $\mathbb{R}^d$ 上のランダム環境における等方的拡散過程に対して、一意な不変測度が存在するか？
• RQ2 不変測度 $\pi$ は、増加する時間スケールに沿った過程の分布の極限として特徴付けられるか？
• RQ3 不変測度 $\pi$ は、元の確率測度 $\mathbb{P}$ に関して絶対連続であり、環境群がエルゴディックであれば、$\pi$ と $\mathbb{P}$ は互いに絶対連続であるか？
• RQ4 局所的に可測な初期データを満たすクラスに対して、過程の分布の $\pi$ への収束がほとんど確実に成立するか？
• RQ5 不変測度 $\pi$ を用いて、周期的係数を伴う放物型および楕円型方程式のホモジゲニゼーションを確立できるか？

主な発見

• 一意な不変測度 $\pi$ が $(\Omega, \mathcal{F})$ 上に存在し、$\mathbb{P}$ に関して絶対連続であり、すべての $t \geq 0$ と $E \in \mathcal{F}$ に対して $\pi(E) = \int_\Omega P_t(\omega, E) \, d\pi$ を満たす。
• 環境群 $\{\tau_x\}_{x \in \mathbb{R}^d}$ がエルゴディックであれば、$\pi$ は $\mathbb{P}$ と互いに絶対連続であり、$\Omega$ 上にエルゴディック確率測度を定義する。
• 不変測度 $\pi(E)$ は、指数関数的に増加する時間スケール $L_n^2$ 沿いの極限 $\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[u_E(0, L_n^2, \omega)]$ として特定され、命題 3.10–3.12 で収束が確立されている。
• 有限範囲の依存性条件を満たす集合 $E$ のクラスに対して、$E$ に依存する確率 1 の部分集合上で、ほとんど確実な収束 $\lim_{t \to \infty} u_E(0,t,\omega) = \pi(E)$ が成り立つ。命題 4.3 で示されている。
• 周期的右辺 $f(x/\epsilon, \omega)$ を伴う放物型方程式のホモジゲニゼーションは、空間的・時間的に局所一様に成立し、$\epsilon \to 0$ のとき $u^\epsilon(x,t,\omega) \to t \overline{\pi}(f)$ となる。ここで $\overline{\pi}(f) = \int_\Omega f(0,\omega) \, d\pi$ であり、定理 5.2 による。
• 周期的右辺 $f(x/\epsilon, \omega)$ を伴う楕円型方程式のホモジゲニゼーションは、空間的に局所一様に成立し、$\epsilon \to 0$ のとき $u^\epsilon(x,\omega) \to \overline{\pi}(f)$ となる。ここで $\overline{\pi}(f) = \int_\Omega f(0,\omega) \, d\pi$ であり、定理 5.3 による。