[論文レビュー] On the Existence of Bertrand-Nash Equilibrium Prices Under Logit Demand

William R. Morrow, Steven J. Skerlos|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2010

Economic theories and models被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、ロジット需要モデルを用いて、多製品企業、非対称コスト、非凹型効用関数といった弱い仮定のもとでも、差別化製品市場におけるベルトラン・ネッシュ均衡価格の存在を示している。これは、ポincare-Hopf定理を適用し、2次条件を分析することで達成された。主な貢献は、対称性や凹型仮定に依存しない一般化された存在証明であり、同時に、ロジットモデルが多製品設定において適切でない可能性を示唆する直感に反する価格特性も明らかにしている。

ABSTRACT

This article presents a proof of the existence of Bertrand-Nash equilibrium prices with multi-product firms and under the Logit model of demand that does not rely on restrictive assumptions on product characteristics, firm homogeneity or symmetry, product costs, or linearity of the utility function. The proof is based on conditions for the indirect utility function, fixed-point equations derived from the first-order conditions, and a direct analysis of the second-order conditions resulting in the uniqueness of profit-maximizing prices. Several subsequent results also demonstrate that price equilibrium under the Logit model of demand cannot adequately describe multi-product pricing.

研究の動機と目的

• 一般条件のもとで差別化製品市場におけるベルトラン・ネッシュ均衡価格の理論的存在を確立すること。
• 多製品企業と非線形効用関数を伴うベルトラン競争の実証的応用に理論的根拠が欠如している問題を解決すること。
• 標準的手法（上位単調性や擬凹型）が、ロジットモデル下での多製品設定においてなぜ機能しないかを示すこと。
• 均衡存在の意味を、異質で差別化された製品市場における現実の価格設定モデリングにどう反映するかを分析すること。
• ロジットモデルが、直感に反する均衡特性を示すため、現実の多製品価格動態を捉えるのに不十分である可能性を示すこと。

提案手法

• 間接的効用関数に対する最小限の仮定のもとで、ベルトラン・ネッシュ均衡価格の存在を証明するために、Poincaré-Hopf定理を適用する。
• 利益最大化の1次条件から固定点方程式を導出し、均衡価格を特徴付ける。
• ロジット需要モデル下で、利益最大化価格の一意性を直接2次条件分析によって証明する。
• 凹型や対称性よりも弱い、間接的効用関数に関する新しい条件を導入する。
• ロジットモデル下で、多製品企業の利益関数において、上位単調性および対数上位単調性が、均衡に非常に近い位置でも失敗することを分析する。
• 有限の購入力と凸型総費用（体積に伴う増加単位コストを含む）を持つモデルへも結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ロジット需要モデル下で、多製品・差別化製品市場におけるベルトラン・ネッシュ均衡が、どのような一般的条件下で存在するか？
• RQ2 企業の対称性、単一製品構造、または効用関数の凹型仮定を一切仮定せずに、均衡の存在を証明できるか？
• RQ3 なぜ、上位単調性や擬凹型に基づく標準的証明が、ロジット需要下の多製品企業設定では失敗するのか？
• RQ4 均衡存在の結果が、多製品市場におけるロジットベースのベルトランモデルの実証的使用にどのような意味を持つのか？
• RQ5 ロジットモデルの均衡特性が、直感に反する価格行動を示すことは、その実証的妥当性を損なう要因となるのか？

主な発見

• Poincaré-Hopf定理により、非対称企業や非凹型効用関数を含む弱い条件下でも、ベルトラン・ネッシュ均衡価格の一般的存在証明が可能である。
• 2次条件分析により、利益関数が上位単調性や擬凹型でない場合でも、利益最大化価格の一意性が確認された。
• モデルは、任意に大きな価格に対しても利益が局所的に増加する可能性があることを示しており、標準的な有限利益最大化基準に反する。
• 多製品企業のロジットモデル下で、均衡に非常に近い位置でも上位単調性および対数上位単調性が失敗し、標準的証明手法が使えないことが判明した。
• 均衡の存在は、実証的妥当性を意味しない。均衡価格が直感に反する行動を示すため、より複雑なモデルの必要性が示唆された。
• 有限の購入力と凸型総費用を持つモデルも、同じ一般的条件下で均衡を有することが示された。これにより、適用範囲が拡張された。