[論文レビュー] On the existence of certain weak Fano threefolds of Picard number two

Maxim Arap, Joseph Cutrone+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、指数 1, 2, 3 のファノ3次元多様体上の曲線のブ lows-up を用いて、反標準写像が小さい Picard数2 の弱ファノ3次元多様体の120通りの数値的ケースの幾何的実現可能性を解決する。[CM13] で未解決であった113通りのケースは、ブリル-ノエター一般のK3表面を用いて幾何的に実現可能であることが示され、12通りのケースは現在の手法における技術的障害のため未解決のままである。

ABSTRACT

This article settles the question of existence of smooth weak Fano threefolds of Picard number two with small anti-canonical map and previously classified numerical invariants obtained by blowing up certain curves on smooth Fano threefolds of Picard number 1 with the exception of 12 numerical cases.

研究の動機と目的

• 反標準写像が小さい Picard数2 の弱ファノ3次元多様体の数値的不変量のうち、どのものが幾何的に実現可能かを特定すること。
• [CM13] における1つのファノ3次元多様体間のサルキソフリンクの分類のギャップを埋めるために、未解決ケースを解消すること。
• 指数 1, 2, 3 の滑らかなファノ3次元多様体上の曲線のブローアップを用いて、E1-E1型サルキソフリンクの幾何的実現可能性を確立すること。
• 現在の手法における技術的障害によって残存する12通りの未解決ケースを特定し、それらを説明すること。

提案手法

• 与えられた次数と種数の滑らかで非可約な曲線に沿って、Picard数1 の滑らかなファノ3次元多様体をブローアップすることで弱ファノ3次元多様体を構成する。
• ファノ3次元多様体内にブリル-ノエター一般のK3表面が存在することを用いて、反標準線形成系の自由性とネフ性を保証する。
• Knutsenによる射影空間内のK3表面の分類を応用し、特定の数値的ケースにおいてそのような表面が存在しないことを検証する。
• [Knu13, Thm.3.2] に提示された基準を用いて、与えられた (d,g) を持つK3表面がブリル-ノエター一般であるかどうかを決定する。
• 数値的ケースが [JPR05] の除法的収縮の表に現れないことを確認することで、反標準線形成系 |−K_X| が小収縮を与えることを検証する。
• 数値的ケースが [JPR11] や [CM13] の非E1-E1テーブルに現れないことを確認することで、フラップ写像 φ⁺ が型E1であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反標準写像が小さい Picard数2 の弱ファノ3次元多様体の数値的不変量のうち、どのものが幾何的に実現可能か？
• RQ2 [CM13, Table E1-E1] に掲載された未解決ケースは、指数 1, 2, 3 のファノ3次元多様体上の曲線のブローアップとして実現可能か？
• RQ3 曲線の次数 d と種数 g にどのような条件を課すと、そのブローアップが反標準写像が小さい弱ファノ3次元多様体をもたらすか？
• RQ4 一般的手法が有効であるにもかかわらず、なぜ12通りの特定ケースが未解決のまま残っているのか？
• RQ5 反標準線形成系 |−K_X| が除法的収縮ではなく小収縮を与えることを示せるか？

主な発見

• 表 E1-E1 のケース 44–46, 48, 70, 71, 86, 88, 97, 105 は、滑らかな2次曲面3次元多様体から出発することで幾何的に実現可能である。
• 表 E1-E1 のケース 30, 34, 37, 41, 64, 84 は、次数4のデル・ペッツォ3次元多様体から出発することで幾何的に実現可能である。
• 表 E1-E1 のケース 31, 35, 38, 40, 42, 65, 68, 69, 81, 83, 94, 96, 101 は、次数5のデル・ペッツォ3次元多様体から出発することで幾何的に実現可能である。
• ケース 43 は、適切なK3表面埋め込みが存在しないため実現不可能である。
• 表 E1-E1 のケース 3–8, 11–15, 18–20, 23, 55–57, 79, 93, 100, 104 は、指数1のファノ3次元多様体から出発することで幾何的に実現可能である。
• ケース 16, 17, 21, 22, 24–26, 58, 60 は、対応するファノ3次元多様体内に必要な (d,g) を持つブリル-ノエター一般のK3表面が存在しないため実現不可能である。