[論文レビュー] On the existence of four or more curved foldings with common creases and crease patterns

Atsufumi Honda, Kosuke Naokawa+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2019

Advanced Materials and Mechanics参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、3次元空間における同一の折り目パターンと折り目線を有する非合同な曲がった折り畳みの数を調査する。折り目線 $C$ とその平面パターン $\Gamma$ の対称性解析を用いて、非閉曲線で非自明な対称性を持たない $C$ および $\Gamma$ の場合、正確に4つの異なる曲がった折り畳みが存在することを証明する。それ以外の場合は、2つ以下に減少する。本研究は、折り畳み幾何学における可展面に関する先行研究を拡張する。

ABSTRACT

Consider an oriented curve $Γ$ in a domain $D$ in the plane $\boldsymbol R^2$. Thinking of $D$ as a piece of paper, one can make a curved folding in the Euclidean space $\boldsymbol R^3$. This can be expressed as the image of an "origami map" $Φ:D o \boldsymbol R^3$ such that $Γ$ is the singular set of $Φ$, the word "origami" coming from the Japanese term for paper folding. We call the singular set image $C:=Φ(Γ)$ the crease of $Φ$ and the singular set $Γ$ the crease pattern of $Φ$. We are interested in the number of origami maps whose creases and crease patterns are $C$ and $Γ$, respectively. Two such possibilities have been known. In the authors' previous work, two other new possibilities and an explicit example with four such non-congruent distinct curved foldings were established. In this paper, we determine the possibility of the number $N$ of congruence classes of curved foldings with the same crease and crease pattern. As a consequence, if $C$ is a non-closed simple arc, then $N=4$ if and only if both $Γ$ and $C$ do not admit any symmetries. On the other hand, when $C$ is a closed curve, there are infinitely many distinct possibilities for curved foldings with the same crease and crease pattern, in general.

研究の動機と目的

• 同一の折り目線と折り目パターンを有する非合同な曲がった折り畳みの最大数を、3次元空間で特定すること。
• 折り目線 $C$ とその平面パターン $\Gamma$ の対称性が、異なる曲がった折り畳みの数に与える影響を分析すること。
• 対称性の性質に基づく完全な分類を確立することで、以前の可展曲がった折り畳みに関する結果を一般化すること。
• $C$ が閉曲線の場合に、そのような折り畳みの存在と数を解明し、一般には無限に多くの可能性が存在することを示すこと。

提案手法

• 曲がった折り畳みを、平面曲線 $\Gamma$ から写像される特異集合を持つ $\mathbb{R}^3$ 内の可展面として定義する。
• 先行研究からの曲率および長さ条件 (i)–(iv') を満たす「許容的」な曲がった折り畳みの概念を導入する。
• 平面内の $\Gamma \subset \mathbb{R}^2$ および空間内の $C \subset \mathbb{R}^3$ に対して、等長変換に基づく対称性解析を実施し、正の対称性と負の対称性を区別する。
• 弧長パラメータ化、曲率関数、およびフレネ・セレットの公式などの微分幾何学的道具を用いて、折り畳みの挙動を特徴付ける。
• 折り畳みの合同類の数が、$C$ および $\Gamma$ が非自明な対称性をもつかどうかに依存することを証明する。
• 楕円の再パラメータ化とスケーリングを用いた明示的例を構築し、4つの非合同な折り畳みを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同一の折り目パターンと折り目線 $C$ を有する非合同な曲がった折り畳みの最大数は、$\mathbb{R}^3$ 内でどの程度まで達成可能か？
• RQ2 折り目線 $C$ とその平面パターン $\Gamma$ の対称性は、異なる曲がった折り畳みの数にどのように制約を加えるか？
• RQ3 どのような幾何的条件下で、そのような折り畳みの数が4に達し、またいつ2つ以下に減少するか？
• RQ4 閉曲線である折り目線 $C$ に対して、同じ $\Gamma$ を持つ無限に多くの異なる曲がった折り畳みが存在しうるか？
• RQ5 どのような条件下で、1組の $(\Gamma, |C|)$ が唯一の合同類の曲がった折り畳みをもたらすか？

主な発見

• 非閉曲線で単純な弧である $C$ が $\mathbb{R}^3$ 内に存在する場合、曲がった折り畳みの合同類の数 $N$ が正確に4に等しいのは、$C$ および $\Gamma$ が非自明な対称性を持たない場合に限る。
• もし $C$ または $\Gamma$ のいずれかが非自明な対称性をもてば、$N \leq 2$ となる。
• $C$ が閉曲線である場合、一般には同じ $\Gamma$ および $|C|$ を持つ無限に多くの異なる曲がった折り畳みが存在しうる。
• 4つの非合同な曲がった折り畳みの存在は、$\Gamma$ をスケーリングされた楕円として、$C_3$ を長さが一致する閉じた空間曲線として用いた明示的例により確認された。
• 長さが一致する $C_3$ 沿いの可展ストリップ $F$ を構成し、その曲率関数が再パラメータ化された楕円と一致するようにした。これにより、図7に示される3つの異なる折り畳みが得られた。
• 本稿では、空間曲線 $C$ が正および負の両方の対称性を同時にもつことと、それが平面上にあり非自明な対称性を持つこととは同値であることを証明している。