[論文レビュー] On the existence of global-in-time weak solutions and scaling laws for Kolmogorov's two-equation model of turbulence

Alexander Mielke, Joachim Naumann|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、R³における周期的境界条件を満たす等方的均一乱流のコルモゴロフの二方程式モデルに対して、時間全域における弱解の存在を確立する。正則化されたrラプラシアン近似と擬単調作用素理論を導入することで、ドメインサイズに依存しない一様なa posteriori推定を得て、放物型構造に対する一様な制御を保証し、物理的に整合するスケーリング則を満たす長時間にわたる解の存在を証明する。

ABSTRACT

This paper is concerned with Kolmogorov's two-equation model for the free turbulence in three dimensions. We first discuss scaling laws for slightly more general two-equation models to highlight the special role of the model devised by Kolmogorov in 1942. The main part of the paper consists in proving the existence of weak solutions of Kolmogorov's under space-periodic boundary conditions in a cube. To this end, we provide new a priori estimates and invoke existence result for pseudo-monotone operators.

研究の動機と目的

• 等方的均一乱流のコルモゴロフの二方程式モデルに対する時間全域における弱解の存在を確立すること。
• 立方体領域における空間周期的境界条件の下で、境界からの距離が大きい自由乱流をモデル化すること。
• ω（上界および下界）およびk（下界）に対する、ボックスサイズaに依存しない点でのa posteriori推定を導出すること。
• サイズに依存しない推定を通じて、拡散作用素における一様な放物型制御を確保すること。
• 類似変換を用いて、自由乱流の文脈におけるモデルのスケーリング則を検証すること。

提案手法

• u、ω、kの各方程式に正則化項としてrラプラシアン項を追加し、元の系を近似する。
• 擬単調作用素を用いた時間発展方程式の存在理論を、正則化された系に適用する。
• ボックスサイズaに依存しないωおよびkに対する点でのa posteriori推定を導出し、一様な制御を保証する。
• r > 3のときのコンパクト埋め込みW¹,r(Ω) ⋐ C⁰(Ω)を用いて、近似列の強収束を確立する。
• 部分積分とサイズに依存しない収束の議論を用いて、非線形な対流項および拡散項を処理する。
• すべての成分において双対積のliminf推定を示すことにより、作用素Aの擬単調性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R³における周期的境界条件の下で、コルモゴロフの二方程式乱流モデルに対して、時間全域における弱解が存在するか？
• RQ2 ωおよびkに対するa posteriori推定が、ボックスサイズaに依存しない形で得られるか。これにより、一様な放物型制御が保証されるか？
• RQ3 モデルのスケーリング性質は、自由乱流および類似変換の文脈でどのように関連するか？
• RQ4 弱解の枠組みにおいて、エネルギー収支および散逸損失が一貫して表現可能か？
• RQ5 rラプラシアン正則化は、解の収束性および存在性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• R³における周期的境界条件を満たすコルモゴロフの二方程式乱流モデルに対して、時間全域における弱解が存在する。
• ボックスサイズaに依存しないω（上界および下界）およびk（下界）に対する点でのa posteriori推定が導出され、スケールにわたる頑健性が保証される。
• rラプラシアン項を含む正則化系は、擬単調作用素理論の適用が可能となり、解の存在を証明する。
• 非線形項のuniform収束およびliminf推定を用いて、近似列Um → Uがエネルギー空間Vにおいて強収束することを確立する。
• 十分に滑らかな解に対して、エネルギー収支関係式 d/dt ∫(½|u|² + k) dx = ∫(f·u − α₂ωk) dx が形式的に成り立ち、コルモゴロフの散逸モデルと整合的である。
• 本手法により、拡散作用素の放物型構造が一様に制御され、長時間にわたる解の存在が保証される。