[論文レビュー] On the existence of global solutions for $T^{3}$-Gowdy spacetimes with stringy matter

Makoto Narita|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2002

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ストリング理論的物質（具体的にはアインシュタイン＝マクスウェル＝ダイラトン＝アキソン（EMDA）場）を伴う$T^3$-ゴウディ時空に対して、体積座標と一定平均曲率（CMC）座標の両方を用いて、グローバル存在定理を確立する。時空は過去に圧縮的特異点を有し、コンpakなCMC超曲面によるfoliationを持つことが示され、強宇宙的 censorship予想およびCMC foliationに関する予想2を支持する。

ABSTRACT

We show a global existence theorem for Einstein-matter equations of $T^{3}$-Gowdy symmetric spacetimes with stringy matter. The areal time coordinate is used. It is shown that this spacetime has a crushing singularity into the past. From these results we can show that the spacetime is foliated by compact hypersurfaces of constant mean curvature.

研究の動機と目的

• ストリング的物質場、具体的にはアインシュタイン＝マクスウェル＝ダイラトン＝アキソン（EMDA）系にカップルされた$T^3$-ゴウディ時空のグローバル存在定理を確立すること。
• 体積座標から一定平均曲率（CMC）座標へのグローバル存在結果の拡張を行い、より幾何学的に自然で対称性に依存しない座標系を用いること。
• 任意のグローバルに因果的時空がCMC超曲面によってfoliation可能であるという予想2を支持すること。
• 特異点の性質と測地線完全性を分析することにより、強宇宙的 censorship予想への影響を調査すること。
• 最大カウチ発展の非拡張可能性を証明する基盤を提供すること。これは、対称的設定下での強宇宙的 censorship予想の妥当性を検証するための重要なステップである。

提案手法

• ダイラトン結合と非線形場力学を伴うラグランジアン形式を用いて、$T^3$-ゴウディ対称時空にEMDA場をカップルしたアインシュタイン＝物質方程式を導出する。
• 体積座標を用いてグローバル存在定理（定理1）を証明し、解がすべての体積時間$t \in (0, \infty)$で存在することを示す。
• 超曲面$\Sigma_\tau$の空間的性質を保証するため、導関数$h_\tau'$の有界性および条件$|h_\tau'| < 1$に基づく幾何的議論を適用する。
• CMC foliation技術を用い、平均曲率$-trK$が有界かつ正であることの証明により、$t \to \infty$へのfoliationの拡張が可能であることを示す。
• ゲルハルトの定理（過去のCMC foliation）と構築された未来のfoliationを組み合わせることで、時空全体の完全なCMC被覆を確立する。
• Fuchsianアルゴリズムを用いて漸近的挙動を分析し、特異点がAVTD（漸近的に速度項支配型）であるかどうかを評価する。AVTD性は、非拡張可能性を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体積座標において、$T^3$-ゴウディ時空にEMDA場をカップルした場合、グローバル解が存在するか？
• RQ2 時空はコンパクトな一定平均曲率（CMC）超曲面によってグローバルにfoliation可能か？
• RQ3 時空は過去の特異点を超えて非拡張可能か？ また、Kretschmannスカラーはその点で発散するか？
• RQ4 時空はAVTD（漸近的に速度項支配型）特異点を示すか？ これは非拡張可能性を示唆する。
• RQ5 得られた結果は、$T^3$-ゴウディ対称EMDA時空の文脈において、強宇宙的 censorship予想を支持できるか？

主な発見

• 体積座標において、$T^3$-ゴウディ時空にEMDA物質を伴うグローバル存在定理が確立された（定理1）。解はすべての$t \in (0, \infty)$で存在することが示された。
• 時空は過去に圧縮的特異点を有し、$t \to 0^+$のとき、空間的超曲面の平均曲率が一様に無限大に近づく。
• 時空はコンパクトなCMC超曲面によってグローバルにfoliation可能であり、$-trK \in (0, \infty)$を満たす。これにより予想2が支持される。
• CMC foliationは$t \to \infty$へと拡張可能であり、各葉上の最大と最小の$t$値の差が$2\pi$で有界であるため、全近傍をカバーせずに未来の無限大に近づくことはない。
• 適切な条件下で、時空は未来方向に因果的測地線完全性を示すことが示された。これはアインシュタイン＝ヴラソフ系との類似性に基づく。
• 特異点はAVTD性を示し、Kretschmannスカラーの発散を示唆する。これは非拡張可能性を示唆し、この設定下での強宇宙的 censorship予想の証明を完成させる。