[論文レビュー] On the existence of Hamiltonian paths connecting Lagrangian submanifolds

Nassif Ghoussoub, Abbas Moameni|ArXiv.org|Aug 18, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、2N次元位相空間内の2つのラグランジュ部分多様体を結ぶハミルトニアン経路の存在を、自己双対ラグランジアンに基づく新規な変分法によって確立する。作用関数の下界がゼロであると定式化し、Ky-Fanの補題を適用することで、ハミルトニアンに凸性および準二次的成長条件が課された下で存在を証明する。成長率の明示的評価により強収縮性とコンパクト性が保証される。

ABSTRACT

We use a new variational method --based on the theory of anti-selfdual Lagrangians developed in [2] and [3]-- to establish the existence of solutions of convex Hamiltonian systems that connect two given Lagrangian submanifolds in $\R^{2N}$. We also consider the case where the Hamiltonian is only semi-convex. A variational principle is also used to establish existence for the corresponding Cauchy problem. The case of periodic solutions will be considered in a forthcoming paper [5].

研究の動機と目的

• 2N次元位相空間内に与えられた2つのラグランジュ部分多様体を結ぶ、凸ハミルトニアン系の解の存在を確立すること。
• 変分的アプローチを準凸ハミルトニアンおよび初期値問題（Cauchy問題）に拡張すること。
• 標準的なオイラー＝ラグランジュ理論に依存しない、自己双対ラグランジアンに基づく新たな存在枠組みを提供すること。
• Legendre-Fenchel双対性および関数解析を用いて、このような接続経路の存在に必要な条件を導出すること。

提案手法

• 自己双対ラグランジアンを用いた、作用関数の下界が恒等的にゼロである新規な変分原理が構築される。
• ハミルトニアンはその共役 $ H^* $ を用いて再定式化され、境界項に $ \psi_1 $, $ \psi_2 $ 及びそれらの共役を含む関数 $ I(p,q) $ が定義される。
• Sobolevノルムおよび $ p(0) $, $ q(T) $ とその導関数に対するPoincaré型不等式を用いた推定により、関数の強収縮性が確立される。
• 関数 $ L(r,s;p,q) $ にKy-Fanの補題を適用し、弱下半連続性およびコンパクト性を活用して最小化子の存在を証明する。
• 摂動として $ H_\epsilon = H + \frac{\epsilon}{2}(|p|^2 + |q|^2) $ を導入することで $ H^*_\epsilon $ が至る所で有限になるようにし、双対性理論の適用を可能にする。
• 鍵となる推定は、$ \|p\| + \|q\| \to \infty $ のとき $ L(0,0;p,q) \to \infty $ を示すことであり、これは $ \beta < \frac{1}{2\max(2T^2,1)} $ および $ \psi_1, \psi_2 $ の強収縮性に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸ハミルトニアン系が、凸関数 $ \psi_1 $ および $ \psi_2 $ で定義される2つのラグランジュ部分多様体を結ぶ解経路を有するための条件は何か？
• RQ2 古典的オイラー＝ラグランジュ理論に依存せずに、このような接続経路の存在をどのように確立できるか？
• RQ3 ハミルトニアンおよび境界ポテンシャルの成長および強収縮性条件は、どのようにコンパクト性と最小化子の存在を保証するか？
• RQ4 この変分法は、準凸ハミルトニアンおよび初期値問題に拡張可能か？
• RQ5 自己双対ラグランジアン構造は、作用関数の下界がゼロであることを保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 関数 $ I(p,q) $ はゼロ以上に下から有界であり、その下界は正確にゼロであり、最小化子で達成される。
• 関数 $ I(p,q) $ の最小化子は、$ (0,T) $ 上 almost everywhere で $ \dot{p} \in \partial_2 H(p,q) $, $ -\dot{q} \in \partial_1 H(p,q) $ を満たすハミルトニアン系を満たす。
• 最小化子において境界条件 $ q(0) \in \partial\psi_1(p(0)) $, $ -p(T) \in \partial\psi_2(q(T)) $ が満たされる。
• 存在結果は $ \beta < \frac{1}{2\max(2T^2,1)} $ のとき成り立ち、ここで $ \beta $ は $ H $ の準二次的成長を制御する。
• $ \psi_1 $ や $ \psi_2 $ の強収縮性、具体的には $ \liminf_{|p|\to\infty} \frac{\psi_i(p)}{|p|^2} > 2T $ が関数の強収縮性を保証する。
• この方法は、$ 1 < r < 2 $ に対して $ -\alpha \leq H(p,q) \leq \beta(|p|^r + |q|^r + 1) $ を満たす $ H $ に適用可能であり、$ \beta $ は同じ評価を満たす。