[論文レビュー] On the existence of Hamiltonians for non-holonomic systems

C. Cronström, Tommi Raita|ArXiv.org|Nov 26, 2007

Control and Dynamics of Mobile Robots参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、1つの線形非ホロノミック制約を持つ3次元非ホロノミック系が元の形では変分的定式化やハミルトニアンを許さないものの、同値な2次元自己準同型系に簡約可能であり、その系は変分的定式化と正準ハミルトニアン記述の両方を許すことを示している。2種類の異なるラグランジアンとそれに対応するハミルトニアンを明示的に構成した結果、非ホロノミック系は特定の条件下でハミルトニアン力学によって記述可能であることが明らかになった。

ABSTRACT

We consider the question of existence of Hamiltonians for autonomous non-holonomic mechanical systems in this paper. The approach is elementary in the sense that the existence of a Hamiltonian for a given non-holonomic system is considered to be equivalent to the existence of a non-degenerate Lagrangian for the system in question. The possible existence of such a Lagrangian is related to the inverse problem of constructing a Lagrangian from the appropriate equations of motion. A simple example in three dimensions with one non-holonomic constraint is analysed in detail, and it is shown that in this case there is no Lagrangian reproducing the equations of motion in three dimensions. Thus the system does not admit a variational formulation in three dimensions. However, the system in question is equivalent to a two-dimensional system which admits a variational formulation. Two distinct Lagrangians and their corresponding Hamiltonians are constructed explicitly for this two-dimensional system

研究の動機と目的

• 非ホロノミック力学系において変分原理に著しい困難が生じるにもかかわらず、自律的非ホロノミック系がハミルトニアン定式化を許すかどうかを調査すること。
• 元の配置空間でラグランジアンが存在しないことが、ハミルトニアンの存在を否定するものでないかを、ラグランジアン構成の逆問題を分析することで明らかにすること。
• 1つの線形非ホロノミック制約を持つ3次元非ホロノミック系が、変分的およびハミルトニアン的定式化を許す2次元系に簡約可能であることを示すこと。
• 簡約された2次元系に対して2つの異なるラグランジアンとそれに対応するハミルトニアンを明示的に構成し、定式化の非一意性を示すこと。

提案手法

• ハミルトニアンの存在は、正準運動量の定義 $ p^j = \partial L / \partial \dot{q}_j $ を通じて非退化なラグランジアンの存在と同値であることが示された。
• 特定の3次元非ホロノミック系（1つの線形速度制約付き）に対して、運動方程式からラグランジアンを構成する逆問題が適用された。
• 元の3次元系は、制約を用いて1つの自由度を消去することで、2次元自己準同型系に簡約可能であり、これにより変分的定式化が可能になった。
• 2次元系に対して2つの異なるラグランジアン $ L_I $ と $ L_{II} $ が導出され、それぞれが異なるハミルトニアン定式化を導いた。
• ラグランジアンから正準運動量が計算され、それらに対応するハミルトニアン $ H_I $ と $ H_{II} $ がレジェンドル変換により導出された。
• 両ハミルトニアンから導かれる正準方程式が、2次元系の元の運動方程式を再現することを確認し、一貫性が裏付けられた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 元の配置空間で変分的定式化を許さない非ホロノミック系が、それでもハミルトニアン定式化を許す可能性はあるか？
• RQ2 非ホロノミック系がハミルトニアンを持つことと、同じ系に対して非退化なラグランジアンが存在することは同値か？
• RQ3 1つの線形非ホロノミック制約を持つ3次元非ホロノミック系は、低次元の系に簡約可能であり、その系が変分的およびハミルトニアン的定式化を許すか？
• RQ4 同じ簡約された非ホロノミック系に対して、複数の異なるラグランジアンおよびハミルトニアン定式化が存在するか？

主な発見

• 1つの線形速度制約を持つ元の3次元非ホロノミック系は、3次元空間でその運動方程式を再現するラグランジアンが存在しないため、変分的定式化を許さない。
• この系は、2種類の異なるラグランジアン $ L_I $ と $ L_{II} $ の存在によって示されるように、変分的定式化を許す2次元自己準同型系に簡約可能である。
• ラグランジアン $ L_I $ はハミルトニアン $ H_I = \frac{1}{m}p_y p_z + \frac{uz}{\sqrt{\ell^2 + z^2}} p_y \log\left(\frac{p_y}{mc_0}\right) $ を導き、運動方程式を再現する。
• ラグランジアン $ L_{II} $ はハミルトニアン $ H_{II} = \sqrt{\frac{2c_0 p_y}{m}} p_z + \frac{2uz}{\sqrt{\ell^2 + z^2}} p_y $ を導き、運動方程式を再現する。
• 両ハミルトニアンから導かれる正準方程式は、2次元系の運動方程式を再現し、両定式化の妥当性が確認された。
• 同じ物理系に対して2つの異なるハミルトニアン定式化が存在することは、非ホロノミック系におけるハミルトニアン表現の非一意性を示している。