[論文レビュー] On the Existence of Jenkins-Strebel Differentials Using Harmonic Maps from Surfaces to Graphs

Michael Wolf|ArXiv.org|Jun 29, 1994

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、測度付き foliation の垂直 foliation の葉空間を表すメトリックグラフへのエネルギー最小化調和写像を構成することにより、所定のシリンダー高さを持つ Jenkins-Strebel 微分形式の存在を示す、新しいリーマン幾何的アプローチを提示する。主な結果は、このような調和写像の Hopf 微分が、所望のシリンダー構造と高さを持つ正則な二次微分形式を導くことであり、従来の extremal length や Teichm"uller 理論に依存する証明に代わる、古典的で素朴な代替手法を提供する。

ABSTRACT

We give a new proof of the existence (\cite{HM}, \cite{Ren}) of a Jenkins-Strebel differential $Φ$ on a Riemann surface $\SR$ with prescribed heights of cylinders by considering the harmonic map from $\SR$ to the leaf space of the vertical foliation of $Φ$, thought of as a Riemannian graph. The novelty of the argument is that it is essentially Riemannian as well as elementary; moreover, the harmonic maps existence theory on which it relies is classical, due mostly to Morrey (\cite{Mo}).

研究の動機と目的

• 所定のシリンダー高さを持つリーマン面における Jenkins-Strebel 微分形式の存在を、新しい素朴な証明で示すこと。
• 複雑なコンフォーマル的または Teichm"uller 理論的技法に代えて、調和写像に基づくリーマン的枠組みを導入すること。
• エネルギー最小化調和写像の Hopf 微分が、所望の Jenkins-Strebel 微分形式を導くことを示すこと。
• 葉空間のグラフに境界がある場合を、境界のないグラフへの近似により境界のない場合に還元すること。
• 調和写像のホモトピー類と、得られる foliation の Whitehead 同値性との直接的な関係を確立すること。

提案手法

• k 個の所定のシリンダーを持つ測度付き foliation をリーマン面に定義し、その葉空間をメトリックグラフ T として定める。
• foliation の葉に沿った射影 π: R → T とホモトピー類にある調和写像 f: R → T を考える。
• 非正曲率な標的空間へのエネルギー最小化調和写像の存在理論（Morrey の古典的理論）を用いて、f の存在を保証する。
• f の Hopf 微分 Φ が正則的であり、Φ の垂直 foliation 沿いに f が定数であることを示す。
• f と π のホモトピー類を比較することで、Φ の垂直 foliation が元の foliation と Whitehead 同値であることを証明する。
• 境界がある場合の処理として、境界頂点に小さなループを付加することで境界のないグラフ Tε に近似し、極限を取る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度付きグラフへの調和写像を用いることで、従来のコンフォーマル的または extremal length 的手法に代わって、所定のシリンダー高さを持つ Jenkins-Strebel 微分形式の存在を示せるか？
• RQ2 リーマン面からグラフへの調和写像の Hopf 微分は、二次微分形式の垂直 foliation とどのように関係するか？
• RQ3 調和写像のホモトピー類は、得られる二次微分形式の位相的・幾何的構造をどのように決定するか？
• RQ4 葉空間のグラフに境界がある場合、どのように境界のない場合に還元できるか？
• RQ5 調和写像の構成は、測度付き foliation 間の Whitehead 同値性をどの程度まで確立できるか？

主な発見

• 測度付き foliation が k 個のシリンダーを持つとき、その葉空間 T に対して、射影 π: R → T とホモトピー類にあるエネルギー最小化調和写像 f: R → T が存在する。
• f の Hopf 微分 Φ は、R 上の正則な二次微分形式であり、その垂直 foliation は元の foliation と同じ k 個のシリンダーと同じ所定の高さを持つ。
• 調和写像 f は Φ の垂直 foliation 沿いに定数であり、f が Φ の葉空間に沿って射影されることを示唆する。
• Φ の垂直 foliation は元の foliation と Whitehead 同値であり、コア曲線とシリンダーモジュライが一致することが保証される。
• 境界のあるグラフの場合、葉空間を境界のないグラフ Tε に近似し、Tε への調和写像を構成した後、極限を取ることで所望の微分形式を回復する。
• この構成は素朴であり、古典的調和写像理論（Morrey）と Courant-Lebesgue の補題にのみ依存し、深い Teichm"uller や extremal length の道具を避ける。