[論文レビュー] On the existence of orbits satisfying periodic or conormal boundary conditions for Euler-Lagrange flows

Luca Asselle|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2015

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この博士論文は、変分法を用いてコンパクト多様体上のEuler-Lagrange力学系に対して周期的かつ共法線境界条件を満たす軌道の存在を確立する。自由時間作用関数を解析し、ミニマックス原理を適用することで、超臨界および亜臨界エネルギー領域における臨界軌道の存在を証明し、Lusternik-Fetの定理を一般化するとともに、2次元トーラス上の磁気力学系へと応用する。

ABSTRACT

Let $(M,g)$ be a closed Riemannian manifold and $L:TM ightarrow \mathbb R$ be a Tonelli Lagrangian. In this thesis we study the existence of orbits of the Euler-Lagrange flow associated with $L$ satisfying suitable boundary conditions. We first look for orbits connecting two given closed submanifolds of $M$ satisfying the conormal boundary conditions: We introduce the Mañé critical value that is relevant for the problem and prove existence results for supercritical and subcritical energies; we also complement these with counterexamples, thus showing the sharpness of our results. We then move to the problem of finding periodic orbits: We provide an existence result of periodic orbits for non-aspherical manifolds generalizing the Lusternik-Fet Theorem, and a multiplicity result in case the configuration space is the 2-torus.

研究の動機と目的

• 2つの部分多様体 $ Q_0 $ と $ Q_1 $ を結ぶ軌道の存在を、共法線境界条件のもとで変分的技法を用いて確立すること。
• Lusternik-Fetの定理を共法線境界条件およびエネルギー準位の設定に一般化すること。
• 特に周期的磁気力学系の2次元トーラス $ \mathbb{T}^2 $ における周期的軌道を調査すること、特に変動する磁場の下での挙動を明らかにすること。
• 磁気形式 $ \sigma $ の弱く正確でかつ閉じているが正確でない場合への存在結果の拡張。
• このような軌道が存在しない可能性がある亜臨界エネルギー領域における反例の提示。

提案手法

• ヒルベルト多様体 $ \mathcal{M}_Q = H^1_Q([0,1],M) \times (0,\infty) $ 上で自由時間作用関数 $ \mathbb{A}_k $ を定式化し、時間スケーリングによる経路の同定を図る。
• 変分的枠組みにおいて最小化列の収束を保証するため、Palais-Smale 条件を適用する。
• エネルギー準位の分類にMâné臨界値を用い、超臨界と亜臨界の領域を区別する。
• ホモトピー理論および相対ホモトピー群を用いてミニマックスクラスを構成し、作用関数の臨界点を検出する。
• Palais-Smale列のミニマックス設定における挙動を制御するため、Struwe型の単調性議論を用いる。
• 共法線バンドルが $ T^*M $ のラグランジュ部分多様体であること、およびリウヴィル1形式がそれら上で恒等的に消えることを利用して、幾何的整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共法線境界条件の下で、Euler-Lagrange方程式の解が2つの部分多様体 $ Q_0 $ と $ Q_1 $ を結ぶ軌道として存在するための条件は何か？
• RQ2 Mâné臨界値が、特に超臨界と亜臨界エネルギー領域におけるこのような軌道の存在にどのように影響を与えるか？
• RQ3 Lusternik-Fetの定理は、共法線境界条件を満たす軌道をカバーするように一般化可能か？
• RQ4 2次元トーラス $ \mathbb{T}^2 $ 上の変動する磁場の下で、周期的軌道の挙動はいかなるものか？また、磁気形式 $ \sigma $ は存在にどのように影響を与えるか？
• RQ5 共法線境界条件を満たす軌道が存在しない場合があるのか、そのような場合、どのような条件下で生じるのか？

主な発見

• 超臨界エネルギー領域では、自由時間作用関数上のミニマックス法により、共法線境界条件を満たす軌道の存在が保証される。
• 亜臨界領域では、このような軌道の存在は保証されず、著者は非存在を示す反例を提示する。
• 一般化されたLusternik-Fet定理が確立され、エネルギー準位がMâné臨界値を上回る場合には、共法線境界条件を満たす周期的軌道の存在が保証される。
• 2次元トーラス $ \mathbb{T}^2 $ 上の変動する磁場の下で、局所的最小解の存在が証明され、Struwe型の単調性議論により最小化列の収束が保証される。
• 証明で用いられるミニマックスクラスは、相対ホモトピー群 $ (D^k, \partial D^k) $ を用いて構成され、臨界クラスの非自明性を保証する。
• 共法線バンドル $ N^*Q $ が $ T^*M $ のラグランジュ部分多様体であることが示され、リウヴィル1形式がそれ上で恒等的に消えることが確認され、これは変分的構造にとって不可欠である。