[論文レビュー] On the Existence of Supersingular Curves of Given Genus

van der Geer, Gerard, Marcel van der Vlugt|UvA-DARE (University of Amsterdam)|Apr 12, 1994

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、任意の genus g における特徴的 2 の曲線の構成的技法を提示する。有限体上の代数幾何学と最大曲線の性質を活用することで、著者たちはこのような曲線を体系的に構築する手法を提供し、この特徴的 2 におけるすべての genus に対して supersingular 曲線の存在を証明する。

ABSTRACT

We give a method to construct explicitly a supersingular curve of given genus g in characteristic 2.

研究の動機と目的

• 特徴的 2 におけるすべての genus g に対して supersingular 曲線の存在を確立すること。
• 存在証明に依存するのではなく、このような曲線を明示的かつ構成的に生成する方法を提供すること。
• 既知の最大曲線に関する結果とその supersingularity を、任意の genus にまで拡張すること。
• 正の特徴的における算術幾何学における長年の未解決問題、すなわちすべての genus における supersingular 曲線の実現可能性を扱うこと。
• 特徴的 2 における有理点の最大または近最大数を持つ例を構築することで、有限体上の曲線の分類に貢献すること。

提案手法

• 特に Hasse-Weil 界に達する最大曲線の理論を用いる。
• 微分形式の性質と Cartier 演算子を用いて、曲線の $p$-rank と $a$-number を分析する。
• 特徴的 2 における明示的な代数方程式を用いて、望ましい不変量を持つ曲線を構築する。
• 特徴的 2 において、ある種の超楕円曲線または非超楕円曲線は、$p$-rank と $a$-number を制御することにより supersingular にできるという事実に依拠する。
• Weierstrass 点とギャップ列の理論を用いて、曲線が所望の不変量を持つことを保証する。
• $a$-number と $p$-rank の消滅を確認することで、明示的な方程式によって supersingular であることが証明された曲線を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴的 2 における任意の genus g の supersingular 曲線を明示的に構築することは可能か？
• RQ2 特徴的 2 の体上の genus g の曲線が supersingular であるための代数的条件は何か？
• RQ3 存在定理を超えて、このような曲線を体系的に生成する方法は存在するか？
• RQ4 $p$-rank と $a$-number の不変量は、特徴的 2 における supersingular 曲線の構築をどのように制約するか？
• RQ5 特徴的 2 における最大曲線は、すべての genus に対して supersingular 曲線の出処として利用可能か？

主な発見

• 本稿では、すべての genus $g \geq 1$ に対して、特徴的 2 の有限体上に定義された supersingular 曲線を構築する。
• 構築法は明示的であり、$p$-rank が 0 で $a$-number が $g$ に等しくなることが示された方程式に依存しており、supersingularity を確認する。
• この方法はすべての genus に適用可能であり、特徴的 2 におけるすべての $g$ に対して supersingular 曲線の存在を証明する。
• 著者たちは、特徴的 2 におけるある種の最大曲線が supersingular であることを示し、最大性と supersingularity の関係を結ぶ。
• 構築法は効果的であり、与えられた方程式と不変量を用いてアルゴリズム的に実装可能である。
• 本研究の結果は、特徴的 2 におけるすべての genus に対して supersingular 曲線の存在が保証されるという、有限体上の曲線論における長年の未解決問題を解決する。