[論文レビュー] On the existence of tangential holomorphic vector fields vanishing at an infinite type point

Ninh Van Thu|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2013

Holomorphic and Operator Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{C}^2$ 内の実超曲面における無限型点で消える接する正則ベクトル場について検討し、このようなベクトル場が存在するのは、定義関数 $P(z_2)$ が回転対称であり、$Q(z_2,t)$ が $z_2$ に関して回転対称である場合に限ることを証明している。これは、無限型点における放物的または双曲的軌道の蓄積点が存在しないことを示し、グリーン＝クランクの予想に対する部分的解決をもたらす。

ABSTRACT

The purpose of this article is to investigate the holomorphic vector fields tangent to a real hypersurface in $\mathbb C^2$ vanishing at an infinite type point.

研究の動機と目的

• $\mathbb{C}^2$ 内の $c^\infty$-滑らかな実超曲面の局所的芽に接する正則ベクトル場で、無限型点で消えるものについて特徴づけること。
• このようなベクトル場が存在するための、定義関数 $\rho(z_1,z_2) = \mathrm{Re}\,z_1 + P(z_2) + (\mathrm{Im}\,z_1)Q(z_2,\mathrm{Im}\,z_1)$ に対する必要十分条件を特定すること。
• D’Angelo の無限型点が、自己同型群の作用において放物的または双曲的軌道の蓄積点になり得るかどうかを検討すること。
• グリーン＝クランクの予想、特に無限型点における軌道の蓄積について、部分的な解答を提供すること。

提案手法

• 超曲面 $M$ で $\rho = 0$ である条件における接続条件 $\mathrm{Re}(H)\rho = 0$ を分析し、ベクトル場の成分を含む複素関数方程式に還元する。
• ベクトル場の成分 $h_2(z_1,z_2)$ を $z_1$ に関してべき級数展開し、係数 $a_n(z_2)$ における再帰的関係を導出する。
• 得られた級数に対して $\mathrm{Re}[\cdots] = 0$ の条件を適用し、最低次の非ゼロ係数 $a_{n_0}(z_2)$ を制約するための零点の位数の議論を用いる。
• 補題 1 を用いた変数変換により、先頭項を $iz_2$ に正規化し、高次項の解析を簡略化する。
• 複素関数の実部に関する系 2 を適用し、最初の非ゼロ係数が $\mathrm{Re}(a_{n_0m_0}) = 0$ を満たし、$n_0 = 0$, $m_0 = 1$ でなければならないことを導く。
• 非ゼロの高次係数 $a_{k_0}(z_2)$ の存在を仮定する背理法を用い、フロー $\gamma(t)$ 沿いの微分方程式に帰着させ、$P \equiv 0$ を導く。これは無限型条件に反する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{C}^2$ 内の $c^\infty$-滑らかな超曲面に接する非自明な正則ベクトル場が、無限型点で消えるのはどのような条件下か？
• RQ2 D’Angelo の無限型点が、滑らかに有界な領域の自己同型群の作用において、放物的または双曲的軌道の蓄積点になり得るか？
• RQ3 このようなベクトル場が存在するためには、定義関数 $P(z_2)$ と $Q(z_2,t)$ がどのような対称性を満たす必要があるか？
• RQ4 関数 $P(z_2)$ の消える位数と $Q(z_2,t)$ の構造が、接する正則ベクトル場の存在にどのように制限を加えるか？

主な発見

• 非自明な正則ベクトル場が $M$ に接し、$0$ で消えるのは、$P(z_2)$ が回転対称、すなわち $P(z_2) = c|z_2|^2$（$c \in \mathbb{R}$）である場合に限る。
• $Q(z_2,t)$ は $z_2$ に関して回転対称でなければならない。つまり、$Q(z_2,t)$ は $|z_2|$ と $t$ のみに依存する。
• ベクトル場成分 $h_2(z_1,z_2)$ の先頭項は、変数変換による正規化を除き、$iz_2$ に一致する必要がある。
• 非ゼロの高次係数 $a_k(z_2)$ が存在すると、$P \equiv 0$ でなければならず、これは無限型条件に反する。
• このようなベクトル場の存在は、内部点の軌道が無限型点に放物的または双曲的軌道として蓄積することはないことを示し、グリーン＝クランクの予想を支持する。
• 本結果は、無限型点で消える接する正則ベクトル場のうち、唯一可能であるのは、$z_2$-成分が $iz_2$ に比例するものであり、$P$ と $Q$ が回転対称である場合に限ることを示している。