[論文レビュー] On the existence of the Moller wave operator for wave equations with small dissipative terms

Jens Wirth|ArXiv.org|Oct 7, 2002

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、常微分方程式に基づく対角化と摂動論を用いた明示的なパラメトリックス構成により、時間的・空間的に小さい減衰項を有する波動方程式に対してMøller波作用素の存在を確立している。主な結果は、減衰波動方程式の解がエネルギーノルムにおいて自由波動方程式の解に漸近的に収束することであり、波作用素は強い作用素極限として構成され、逆可換であることが示され、散乱作用素の存在が保証される。

ABSTRACT

The aim of this short note is to reconsider and to extend a former result of K. Mochizuki on the existence of the scattering operator for wave equations with small dissipative terms. Contrary to the approach used by Mochizuki we construct the wave operator explicitly in terms of the parametrix construction obtained by a (simplified) diagonalization procedure. The method is based on ODE techniques.

研究の動機と目的

• 減衰項が小さい波動方程式の散乱に関して、Mochizukiの結果を再表現・拡張すること。
• パラメトリックスおよび対角化技法を用いて、エネルギー空間内に明示的にMøller波作用素を構成すること。
• 与えられたクラスの波動方程式に対して、散乱作用素 S = W₊W₋⁻¹ の存在を確立すること。
• エネルギーノルムにおける自由波動方程式への解の収束速度についての定量的推定を与えること。
• 係数がxに依存する場合への一般化を図り、位相空間分割を回避することで、フーリエ空間における波作用素のグローバル定義を可能とすること。

提案手法

• エネルギー空間の同型写像 E ≃ L₂ を用いて、問題を1階系に変換し、U = (|D|û, Dtû)ᵀ と定義する。
• 行列 M = [[1,-1],[1,1]] を用いた対角化により、|D| を含む分離系が得られる。
• 元の系の発展は 𝒟 = diag(|D|, -|D|) に支配され、基本解は 𝒟₀(t,s) = e^{i(t−s)𝒟} で与えられる。
• 減衰項 b(t,x) は、L₁(ℝ, L∞(ℝⁿ)) に属する小さな摂動とみなされ、対角化系内では行列 B(t,x) として表現される。
• Dyson型級数を用いた時序指数級数を構成する： 𝒬(t,s) = I + ∑_{k=1}^∞ i^k ∫_{s<t_k<⋯<t₁<t} 𝒮(t₁,s)⋯𝒮(t_k,s) dt_k⋯dt₁、ここで 𝒮(τ,s) = 𝒟₀(s,τ)B(τ)𝒟₀(τ,s) である。
• 全プロパゲーターは 𝒟(t,s) = 𝒟₀(t,s)𝒬(t,s) であり、波作用素は W₊ = lim_{t→∞} M𝒬(t,0)M⁻¹ として定義され、L₂ 上の作用素ノルムで収束する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間的・空間的に変動する小さい減衰項を有する波動方程式に対して、Møller波作用素は存在するか？
• RQ2 位相空間局在化や微局所的手法を用いずに、波作用素を明示的に構成できるか？
• RQ3 エネルギー空間における解の自由波動方程式への収束速度は何か？
• RQ4 与えられた b(t,x) の仮定のもとで、散乱作用素 S = W₊W₋⁻¹ は適切に定義され、可逆か？
• RQ5 摂動の作用素ノルムが波作用素の存在性および正則性に与える影響は何か？

主な発見

• Møller波作用素 W₊ および W₋ は、L₂ 作用素ノルムにおける強い作用素極限として存在し、エネルギー空間 E 上で同型写像である。
• 与えられた b(t,x) の仮定のもとで、散乱作用素 S = W₊W₋⁻¹ は存在し、可逆である。
• 解 (u, Dt u) が自由解 (ũ, Dt ũ) にエネルギーノルムで収束するとき、|| (u, Dt u) - (ũ, Dt ũ) ||_E ≲ ||(u₁,u₂)||_E ∫_t^∞ ||b(τ,·)||_∞ dτ が t → ∞ のとき成り立つ。
• ||b(τ,·)||_∞ の可積分性により、波作用素 𝒬(∞,0) は L₂ 作用素ノルムにおける極限として適切に定義される。
• 位相空間分解を回避し、行列 M および Dyson 級数を用いたグローバルなフーリエ空間における波作用素の定義が可能である。
• 基本解 𝒟(t,s) の作用素ノルムは一様に有界であり、摂動展開の安定性が保証される。