[論文レビュー] On the existence of $W^{1,2}_{p}$ solutions for fully nonlinear parabolic equations under either relaxed or no convexity assumptions

Н. В. Крылов|arXiv (Cornell University)|May 5, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、ハミルトニアンがヘッセ行列に関して凸性や凹性を仮定しない場合でも、$W^{1,2}_p$ 解の存在を確立する。$|D^2v|$ が大きい場合に緩い凸性と VMO 型の条件を、有界な $|D^2v|$ に対しては楕円性を仮定し、最小限の構造的仮定の下で、Sobolev 空間における事前推定と可解性を証明する。これにより、先行研究を非凸な設定へと拡張する。

ABSTRACT

We establish the existence of solutions of fully nonlinear parabolic second-order equations like $\partial_{t}u+H(v,Dv,D^{2}v,t,x)=0$ in smooth cylinders without requiring $H$ to be convex or concave with respect to the second-order derivatives. Apart from ellipticity nothing is required of $H$ at points at which $|D^{2}v|\leq K$, where $K$ is any fixed constant. For large $|D^{2}v|$ some kind of relaxed convexity assumption with respect to $D^{2}v$ mixed with a VMO condition with respect to $t,x$ are still imposed. The solutions are sought in Sobolev classes. We also establish the solvability without almost any conditions on $H$, apart from ellipticity, but of a "cut-off" version of the equation $\partial_{t}u+H(v,Dv,D^{2}v,t,x)=0$.

研究の動機と目的

• ハミルトニアンが $D^2v$ に関して凸でも凹でもない場合に、完全非線形放物型方程式に対する $W^{1,2}_p$ 解の存在を確立すること。
• ハミルトニアン $H$ が二階微分に関して凸性を仮定する必要を緩めたり、取り消したりすること。
• 楕円性と、$|D^2v|$ が大きい場合の緩い凸性-VMO 条件のみを仮定した最小限の構造的条件下で、Sobolev 空間における可解性を証明すること。
• 楕円性を除く最小限の仮定の下で、「カットオフ」バージョンの方程式に対する可解性を拡張すること。
• 粘性解理論や確率ゲーム理論に依存せずに、$W^{1,2}_p$ フレームワークにおいて事前推定と存在結果を得ること。

提案手法

• ハミルトニアンを $H = F + G$ と分解し、$F$ が緩い凸性条件を満たし、$G$ が制御された方法で小さいことを仮定する。
• 時間変数および空間変数に関して、$F$ に対して VMO 型の条件を課し、小さな放物型シリンダー内での振動の制御を保証する。
• $p > d+1$ の $W^{1,2}_p$ における事前推定を、弱い逆ホルダー不等式および鋭い関数技術に依拠して行う。
• 滑らかな関数 $\eta_n$ を用いた $H(u', 0, t, x)$ の切り詰めによるカットオフ手続きを適用し、一般の $g \in W^{1,2}_p$ に対する近似を可能にする。
• $W^{1,2}_p$ 内での一様連続性と弱コンパクト性を確立し、極限に移行して解を得る。
• 鋭い関数推定と最大関数技術を用いて、導関数の $L^p$ ノルムを制御し、付録の定理 7.1 および 7.2 に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアン $H$ が $D^2v$ に関して凸でも凹でもない場合に、完全非線形放物型方程式に対する $W^{1,2}_p$ 解が存在しうるか？
• RQ2 ハミルトニアン $H$ に対してどのような構造的仮定が、凸性を仮定しない場合の Sobolev 空間における可解性を保証するか？
• RQ3 緩い凸性条件と VMO 型条件を組み合わせた場合に、事前推定および存在結果を得られるか？
• RQ4 楕円性を除く最小限の仮定の下で、「カットオフ」バージョンの方程式に対する可解性を証明できるか？
• RQ5 凸性が欠如する状況において、粘性解理論の枠組みを越えて理論をどのように拡張できるか？

主な発見

• $p > d+2$ の場合、境界条件がゼロである方程式 $\partial_t u + H(v, Dv, D^2v, t, x) = 0$ が (1.2) の $H$ を持つとき、$W^{1,2}_p(\Pi)$ 内に一意に解をもつ。
• ハミルトニアン $H$ が $D^2v$ に関して凸でも凹でもない場合でも解が存在し、例 $H(D^2u, x) = \bar{G}(t,x) \wedge |D_{12}u| + \cdots + \Delta u - f(t,x)$ によって示される。
• 事前推定 (1.5) は $p > d+1$ に対して成り立ち、定数は $d, p, \delta, K_F, K_0$ および $F$ と $g$ の連続 moduli のみに依存する。
• 近似に対して安定である：$g \in W^{1,2}_p(\Pi)$ の場合、近似と弱コンパクト性の議論により解が存在する。
• 本手法は、確率ゲーム理論や粘性解理論に依存せず、非凸方程式に対する直接的な PDE 手法を提供する。
• 主な技術的革新は、カットオフハミルトニアンと鋭い関数推定を用いて、凸性がなくても振動を制御し、$L^p$ ノルムの境界を導出することにある。