[論文レビュー] On the exotic De-Rham cohomology. Perturbation theory as a spectral sequence

Sergey Novikov|ArXiv.org|Jan 9, 2002

Topological and Geometric Data Analysis被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、コンパクトなリーマン多様体上での摂動微分作用素 $ d_{\lambda\omega} = d + \lambda\omega \wedge $ を用いて、2つの新しいホモロジー的不変量—第一種および第二種の異方的デ・ラームコホロジー—を導入する。閉1形式 $ \omega $ に対して、これらの異方的ベッチ数は、$ \rho(\gamma) = \exp(\int_\gamma \lambda\omega) $ である twisted de Rham コホロジー $ H^*_{\rho}(M, \mathbb{C}) $ と一致することが示され、$ \lambda_0\omega \in H^1(M, \mathbb{Z}) $ を満たす $ \lambda_0 \neq 0 $ が存在するとき、$ (\mathbb{C}^*)^p $ 内の関連する複素曲線が代数的であることが証明される。この研究は、スペクトル理論、モース理論、代数幾何学を、スペクトル系列とマッセイ積を通じて結びつける。

ABSTRACT

This work is dedicated to some new exotic homological constructions associated with the different Morse-type inequalities for differential forms and vector fields. It contains also survey of ideas developed by the present author in 1986 for this goal.

研究の動機と目的

• コンパクトな $ C^\infty $ 多様体上での摂動ラプラシアン $ \Delta_{\lambda\omega} = (d_{\lambda\omega} + d^{+}_{\lambda\omega})^2 $ の核を用いて、第一種の異方的ベッチ数を定義し、それらを研究すること。
• $ \Omega = d\omega $ であるとき、複体 $ (\Lambda^*_{\Omega}, d_{\lambda\omega}) $ を用いて、計量に依存しない第二種の異方的ホモロジーを導入し、関連する異方的ベッチ数を定義すること。
• 閉形式 $ \omega $ に対して、異方的コホロジーとねじれデ・ラームコホロジー $ H^*_{\rho}(M, \mathbb{C}) $ の間のホモロジー的同値性を確立すること。ここで $ \rho(\gamma) = \exp(\int_\gamma \lambda\omega) $ である。
• $ z_j = \exp(\lambda \oint_{\gamma_j} \omega) $ で定義される複素曲線 $ \Gamma_\omega \subset (\mathbb{C}^*)^p $ が、ある $ \lambda_0 \neq 0 $ に対して $ \lambda_0\omega \in H^1(M, \mathbb{Z}) $ であるときかつそのときに限り代数的であることを証明すること。
• 特に可積分分布と接触構造の文脈において、異方的コホロジーの幾何的解釈を探索すること。

提案手法

• 1形式 $ \omega $ を用いて $ \Lambda^* $ 上に作用素 $ d_{\lambda\omega} = d + \lambda\omega \wedge $ を定義し、標準的デ・ラーム複体の摂動を検討すること。
• 随伴作用素 $ d^{+}_{\lambda\omega} = \pm *d_{\lambda\omega}* $ を構成し、実数 $ \lambda $ に対して強線形である自己随伴作用素 $ \Delta_{\lambda\omega} = (d_{\lambda\omega} + d^{+}_{\lambda\omega})^2 $ を得ること。
• $ \Delta_{\lambda\omega} $ の $ \mathbb{Z}_2 $-符号付き核の次元として異方的ベッチ数 $ b^{\pm}(\lambda\omega) $ を定義し、複体 $ (\Lambda^*_{\Omega}, d_{\lambda\omega}) $ の計量に依存しない異方的ホモロジー $ H^k_{\lambda\omega} $ の次元として $ b'_{\lambda\omega} $ を定義すること。
• フィルトレーション付き複体 $ (\Lambda^*_{\Omega}, d_{\lambda\omega}) $ のスペクトル系列を用いて摂動理論を解析し、マッセイ積 $ d_s(a) = (\omega, \ldots, \omega, a) $ と関連付けること。
• $ \omega - \omega' = df $ に対してゲージ変換 $ a \mapsto e^{\lambda f}a $ を適用し、同調的1形式に対して異方的ホモロジー群が同型であることを証明すること。
• 局所座標を用いて $ \Lambda^*_{\Omega} $ の構造と $ d_{\lambda\omega} $ の作用を、完全可積分分布や接触構造の例において分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \Delta_{\lambda\omega} $ の核によって定義される第一種の異方的ベッチ数は、古典的デ・ラームコホロジーおよびねじれコホロジーとどのように関係するか？
• RQ2 $ z_j = \exp(\lambda \oint_{\gamma_j} \omega) $ でパラメトライズされる複素曲線 $ \Gamma_\omega \subset (\mathbb{C}^*)^p $ が代数的であるための条件は何か？
• RQ3 非閉1形式の文脈において、特に可積分ファイブレーションや接触構造の文脈で、異方的ホモロジー群 $ H^k_{\lambda\omega} $ の幾何的意味は何か？
• RQ4 摂動 $ d_{\lambda\omega} = d + \lambda\omega \wedge $ は、複体 $ (\Lambda^*_{\Omega}, d_{\lambda\omega}) $ 内のスペクトル系列およびマッセイ積とどのように関係するか？
• RQ5 非正確な1形式の文脈において、異方的コホロジー群は、Witten型モース理論のスペクトル不変量として解釈可能か？

主な発見

• $ d\omega = 0 $ である閉1形式に対して、第一種の異方的ベッチ数 $ b^{\pm}(\lambda\omega) $ は、 $ \rho(\gamma) = \exp(\int_\gamma \lambda\omega) $ であるねじれデ・ラームコホロジー $ H^*_{\rho}(M, \mathbb{C}) $ の次元と一致する。
• 複素曲線 $ \Gamma_\omega \subset (\mathbb{C}^*)^p $ が代数的であるための必要十分条件は、ある $ \lambda_0 \neq 0 $ に対して $ \lambda_0\omega \in H^1(M, \mathbb{Z}) $ である。これは代数的性のための位相的基準を提供する。
• 1形式が完全形式 $ df $ によって異なる場合、ゲージ変換 $ a \mapsto e^{\lambda f}a $ を通じて、第二種の異方的ホモロジー $ H^k_{\lambda\omega} $ は同型である。これはホモトピー不変性を示している。
• $ \omega \wedge d\omega = 0 $ の場合、バーテックスファイブレーションが位相的に複素的であるならば、異方的1次コホロジー $ H^1_{\lambda\omega} $ は有限次元であり、局所座標では $ r $-に依存しない閉1形式から成る。
• 接触構造 $ \omega = pdq + dr $、$ d\omega = dp \wedge dq $ の場合、局所的には異方的コホロジー $ H^1_{\lambda\omega} $ はバーテックスの場合と同型であるが、$ dr $ のグローバルな非閉性により、軌道に沿って指数関数的減衰が生じる。
• 点 $ \lambda = -1 $ は異方的コホロジーのジャンピング点である： $ \alpha \in H^1_{-\omega} $ が非自明なコサイクルであるための必要十分条件は、$ \alpha = 0 $ が完全可積分分布を定義することである。これにより、異方的コホロジーとファイブレーション理論が結びつく。