[論文レビュー] On the expected moments between two identical random processes with application to sensor network

Rafał Kapelko|arXiv (Cornell University)|May 24, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、同一かつ独立な一般の確率過程同士の間の期待 $ L^b $-距離について、閉形式の漸近式を導出している。$ b \geq 2 $ の場合、$ \mathbf{E}[|X_k - Y_k|^b] = \Theta(k^{b/2}/\lambda^b) $ であり、$ 0 < b < 2 $ の場合、$ O(k^{b/2}/\lambda^b) $ である。この結果は、ポアソン過程に関する先行研究を一般化し、センサーネットワークへの応用において、最大二色マッチングの最適輸送コストが $ \Theta(n^{b/2 + 1}/\lambda^b) $ にスケーリングすることを示している（$ b \geq 2 $ の場合）、それ以外の場合は $ O(n^{b/2 + 1}/\lambda^b) $ である。

ABSTRACT

We give a closed analytical formula for expected distance to the power $a$ between two identical general random processes, when $a$ is an even positive number. As an application to sensor network we prove that the optimal transportation cost to the power $b&gt;0$ of the maximal random bicolored matching with edges $\\{X_k,Y_k\\}$ is in $\\frac{\\Theta\\left(n^{\\frac{b}{2}+1}\ ight)}{{\\lambda}^b}$ when $b \\ge 2,$ and in $\\frac{O\\left(n^{\\frac{b}{2}+1}\ ight)}{{\\lambda}^b}$ when $0&lt; b &lt; 2.$

研究の動機と目的

• ポアソン過程間の期待絶対差に関する先行結果を、任意の分布をもつi.i.d.一般確率過程へ一般化すること。
• 特定の分布（例：ガンマ分布）を仮定せずに、任意の $ b > 0 $ に対して $ \mathbf{E}[|X_k - Y_k|^b] $ の閉形式の漸近式を導出すること。
• 一般の確率過程モデル下でのセンサーネットワークにおける最大二色マッチングの最適輸送コストを確立すること。
• 先行研究が提起した、同一過程における到着時間差の高次モーメントに関する未解決問題を解消すること。

提案手法

• 偶数整数 $ a $ に対して $ \mathbf{E}[|X_k - Y_k|^a] $ を展開する際、多項定理を用い、仮定1の下での独立性とモーメント条件を活用する。
• 奇数次モーメント $ \mathbf{E}[(\xi_i - \tau_i)^{2d+1}] = 0 $ が消えるという鍵となる観察を適用し、展開を簡略化する。
• 展開における主要項として、$ \frac{a! \cdot \mathrm{Var}[\xi_1]^{a/2}}{(a/2)!} \cdot \frac{k^{a/2}}{\lambda^a} $ を特定し、低次の項は $ O(k^{a/2 - 1}/\lambda^a) $ で有界であることを示す。
• ジェンセンの不等式を用いて、整数指数 $ a $ から実数指数 $ b > 0 $ への結果の拡張を実現し、非整数 $ b $ に対しても一般化を可能にする。
• 導出されたモーメントの境界をセンサーネットワークのマッチング問題に適用し、最適マッチングが $ X_k $ を $ Y_k $ とペアリングすることで、全期待コストを最小化することを証明する。
• 恒等式 $ \sum_{k=1}^n k^{b/2} = \Theta(n^{b/2 + 1}) $ を用いて、全輸送コストの最終的なスケーリングを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガンマ分布の間隔時間の特別な場合を除き、一般のi.i.d.確率過程に対して、$ b > 0 $ のとき $ \mathbf{E}[|X_k - Y_k|^b] $ の漸近的挙動は何か？
• RQ2 特定の分布を仮定せずに、同一確率過程間の距離の $ b $ 次モーメントの閉形式の漸近式を導出可能か？
• RQ3 一般の確率過程でセンサが配置されるセンサーネットワークにおいて、最適二色マッチングの期待輸送コストはどのようにスケーリングするか？
• RQ4 最適マッチングコストは、強度パラメータ $ \lambda $ と指数 $ b $ にどのように依存するか？

主な発見

• 偶数整数 $ a $ に対して、$ \mathbf{E}[|X_k - Y_k|^a] = \frac{a! \cdot \mathrm{Var}[\xi_1]^{a/2}}{(a/2)!} \cdot \frac{k^{a/2}}{\lambda^a} + O(k^{a/2 - 1}/\lambda^a) $ が成り立ち、正確な漸近式が得られる。
• 実数 $ b \geq 2 $ に対しては $ \mathbf{E}[|X_k - Y_k|^b] = \Theta(k^{b/2}/\lambda^b) $、$ 0 < b < 2 $ に対しては $ O(k^{b/2}/\lambda^b) $ であることが示され、整数モーメントを超えた一般化が達成された。
• センサーネットワークにおける最適マッチングは、$ X_k $ を $ Y_k $ とペアリングすることで、全期待 $ b $ 乗輸送コストを最小化する。
• 全期待コストは、$ n $ 個のセンサに対して、$ b \geq 2 $ の場合 $ \Theta(n^{b/2 + 1}/\lambda^b) $ にスケーリングし、$ 0 < b < 2 $ の場合は $ O(n^{b/2 + 1}/\lambda^b) $ にスケーリングする。
• 密度関数（例：ガンマ分布）に依存しない導出プロセスを採用したため、モーメントと独立性の条件を満たす広範な分布クラスに一般化可能である。