[論文レビュー] On the exponent of finite-dimensional Hopf algebras

Pavel Etingof, Shlomo Gelaki|ArXiv.org|Dec 28, 1998

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、有限次元ホップ代数の指数を導入し、研究する。これは群論的指数の一般化である。5つの同値な定義を確立し、量子双対のドリンフェルト要素の位数や、双対の正則表現上の二乗ブレーキング作用素の位数を含む。主な結果として、半単純かつ余半単純なホップ代数に対しては、指数が dim(H)^3 を割り切ることを示し、特性0の三角ホップ代数に対しては、dim(H) を割り切ることを示す。さらに、一般に半単純余半単純の場合にその整除性が成り立つという予想を提示する。

ABSTRACT

One of the classical notions of group theory is the notion of the exponent of a group. The exponent of a group is the least common multiple of orders of its elements. In this paper we generalize the notion of exponent to Hopf algebras. We give five equivalent definitions of the exponent. Two of them are: 1) the exponent of H equals the order of the Drinfeld element u of the quantum double D(H); 2) the exponent of H is the order of the squared brading acting in the tensor square of the regular representation of D(H). We show that the exponent is invariant under twisting. We prove that for semisimple and cosemisimple Hopf algebras H, the exponent is finite and divides dim(H)^3. For triangular Hopf algebras in characteristic zero, we show that the exponent divides dim(H). We conjecture that if H is semisimple and cosemisimple then the exponent always divides dim(H). At the end we formulate some open questions, in particular suggest a formulation for a possible Hopf algebraic analogue of Sylow's theorem.

研究の動機と目的

• 有限次元ホップ代数への群論的指数の一般化を提供すること。
• 複数の同値な定式化を通じてホップ代数の指数を定義し、特徴づけること。
• ホップ代数構造のねじれに対する指数の不変性とそのホップ代数構造への影響を調査すること。
• 半単純および余半単純ホップ代数における指数の上界を確立すること。
• 指数の構造的役割にインspiredされ、Sylowの定理のホップ代数版を提案すること。

提案手法

• 量子双対 D(H) におけるドリンフェルト要素の位数として指数を定義する。
• D(H) の正則表現のテンソル平方に作用する二乗ブレーキング作用素の位数として指数を特徴づける。
• 量子双対とブレーキングテンソルカテゴリの理論を用いて、指数をカテゴリカルな対称性に関連付ける。
• D(H) の表現論と R-行列の性質を用いて構造的制約を導出する。
• 半単純および余半単純ホップ代数の理論からの結果を応用し、指数の上限を求める。
• ねじれ不変性を用いて、指数がホップ代数のモリタ不変量であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元ホップ代数への群の指数の適切な一般化は何か？
• RQ2 ホップ代数の指数に対していくつの同値な定義を与えることができるか。それらのカテゴリカルな意味は何か？
• RQ3 ホップ代数構造のねじれに対して指数は不変のままであるか？
• RQ4 半単純および余半単純ケースにおける指数にどのような上限を設定できるか？
• RQ5 指数を主要不変量として用いて、Sylowの定理のホップ代数版を定式化できるか？

主な発見

• 有限次元ホップ代数 H の指数は、代数構造のねじれに対して不変である。
• 半単純かつ余半単純なホップ代数に対しては、指数が dim(H)^3 を割り切る。
• 特性0の体上の三角ホップ代数に対しては、指数が dim(H) を割り切る。
• ドリンフェルト要素の位数（D(H) において）や、D(H) の正則表現上の二乗ブレーキング作用素の位数を含む、5つの同値な指数の定義が確立された。
• 本研究では、半単純かつ余半単純なホップ代数に対して、指数が常に dim(H) を割り切るという予想を提示する。これは三角ケースを拡張するものである。
• 指数に基づいたSylowの定理のホップ代数版の可能性のある定式化を示唆する。