[論文レビュー] On the Expressive Completeness of Bernays-Sch\\"onfinkel-Ramsey Separation Logic

Mnacho Echenim, Radu Iosif+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2018

Logic, programming, and type systems参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ベルナイス＝シューフォンクル＝ラーム分離論理（$\mathsf{BSR}(/mathsf{SL}^{k})$）の充足可能性問題を調査し、分離含意の正の出現における全称量化子が原因で一般フラグメントが決定不能であることを示している。正の出現における全称量化子の制限を施すことにより、2つの決定可能である部分フラグメント、$\mathsf{BSR}^{\mathit{fin}}(\mathsf{SL}^{k})$ および $\mathsf{BSR}^{\mathit{inf}}(\mathsf{SL}^{k})$ を特定し、分離接続子を一階論理的同等物に制御的に削除することで、両者がPSPACE完全であることを証明した。

ABSTRACT

This paper investigates the satisfiability problem for Separation Logic, with unrestricted nesting of separating conjunctions and implications, for prenex formulae with quantifier prefix in the language $\\exists^*\\forall^*$, in the cases where the universe of possible locations is either countably infinite or finite. In analogy with first-order logic with uninterpreted predicates and equality, we call this fragment Bernays-Sch\\"onfinkel-Ramsey Separation Logic [BSR(SLk)]. We show that, unlike in first-order logic, the (in)finite satisfiability problem is undecidable for BSR(SLk) and we define two non-trivial subsets thereof, that are decidable for finite and infinite satisfiability, respectively, by controlling the occurrences of universally quantified variables within the scope of separating implications, as well as the polarity of the occurrences of the latter. The decidability results are obtained by a controlled elimination of separating connectives, described as (i) an effective translation of a prenex form Separation Logic formula into a combination of a small number of \\emph{test formulae}, using only first-order connectives, followed by (ii) a translation of the latter into an equisatisfiable first-order formula.

研究の動機と目的

• 有限および無限のヒープ上で、量化子の前置記号が$\exists^*\forall^*$である分離論理$\mathsf{BSR}(\mathsf{SL}^{k})$の充足可能性問題の決定可能性を分析すること。
• 有限充足可能性および無限充足可能性の両方に対して決定可能な、$\mathsf{BSR}(\mathsf{SL}^{k})$ の非自明な部分フラグメントを同定すること。
• 分離論理$\mathsf{SL}^{k}$の論理式を、テスト論理式のブール結合および論理的に同等な一階論理式に翻訳することにより、表現的完全性を確立すること。
• 実用的な検証条件と整合する決定可能フラグメントを同定することで、自動検証の基盤を提供すること。

提案手法

• 分離含意内での全称量化子の変数の出現が負または非正の文脈に制限されるように、2つの部分フラグメント$\mathsf{BSR}^{\mathit{fin}}(\mathsf{SL}^{k})$ および $\mathsf{BSR}^{\mathit{inf}}(\mathsf{SL}^{k})$ を提案すること。
• 分離接続子を、一階論理の接続子のみを用いたテスト論理式のブール結合として表現することにより、分離接続子を削除する翻訳手法を導入すること。
• 前件形式の$\mathsf{SL}^{k}$論理式を、有限および無限の論理的領域上で充足可能性を保つ等価な一階論理式に写像する翻訳$\delta(\phi)$を構築すること。
• 最小項分解と有界な領域サイズを用いたモデル構築により、$*$および$\mathrel{\mbox{$\mathord{-}\mathord{-}\mathord{*}$}}$の制御的な削除を実行すること。
• 有限モデルが$\mathcal{O}(\mathsf{size}(\phi)^2)$の領域サイズで有界であることを示し、多項式空間内でモデルを推測・検証できることから、PSPACE完全性を証明すること。
• 翻訳式$\tau(\varphi') \land \mathcal{A}(\varphi')$と$\mathsf{BSR}(\mathsf{FO})$論理式との同値性を活用し、充足可能性問題を有界モデル付きの一階論理問題に還元すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $k \geq 2$のとき、有限および無限のヒープ上で$\mathsf{BSR}(\mathsf{SL}^{k})$の充足可能性問題は決定可能か？
• RQ2 分離含意内での全称量化子の変数にどのような文法的制限を課すと、$\mathsf{BSR}(\mathsf{SL}^{k})$ の決定可能フラグメントが得られるか？
• RQ3 分離接続子は、テスト論理式への翻訳により一貫して削除可能であり、等価充足可能性が保たれるか？
• RQ4 得られた決定可能部分フラグメントの有限充足可能性および無限充足可能性問題の複雑さはいかほどか？
• RQ5 提案された翻訳手法により、例えばPSPACE完全性が知られている非量化子付き$\mathsf{SL}^{k}$の既知の複雑さ結果を再現できるか？

主な発見

• 一般フラグメント$\mathsf{BSR}(\mathsf{SL}^{k})$ は、$k \geq 2$のとき決定不能であり、主に正の極性を持つ分離含意内での全称量化子が原因である。
• 分離含意内での全称量化子の正の出現を禁止するフラグメント$\mathsf{BSR}^{\mathit{fin}}(\mathsf{SL}^{k})$ は、有限充足可能性に関して決定可能かつPSPACE完全である。
• 分離含意内での全称量化子の変数が非正の文脈に制限されるフラグメント$\mathsf{BSR}^{\mathit{inf}}(\mathsf{SL}^{k})$ は、無限充足可能性に関して決定可能かつPSPACE完全である。
• 分離接続子の制御的削除を可能にする、テスト論理式のブール結合への$\mathsf{SL}^{k}$論理式の翻訳により、問題が一階論理に還元される。
• 翻訳された一階論理式の最小モデルのサイズは$\mathcal{O}(\mathsf{size}(\phi)^2)$で有界であり、多項式空間でのモデルチェックが可能である。
• 結果として、$\phi \multimap \top$が$\mathsf{BSR}^{\mathit{fin}}(\mathsf{SL}^{k})$および$\mathsf{BSR}^{\mathit{inf}}(\mathsf{SL}^{k})$の両方に属することを示し、非量化子付き$\mathsf{SL}^{k}$のPSPACE完全性が再現された。