[論文レビュー] On the Expressiveness of LARA: A Unified Language for Linear and Relational Algebra

Pablo Barceló, Nelson Higuera+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2019

Advanced Database Systems and Queries参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、線形代数と関係代数を統合した言語Laraの表現力を調査し、集約を伴う一階論理に対して表現的完全性を示している。研究では、Laraが多くのデータベースおよび機械学習演算を表現可能である一方で、一般性と局所性の制約下では行列畳み込みや逆行列を表現できないこと、また複雑さの仮定なしに表現不能性を示すのは依然として困難であることが明らかになった。

ABSTRACT

We study the expressive power of the LARA language -- a recently proposed unified model for expressing relational and linear algebra operations -- both in terms of traditional database query languages and some analytic tasks often performed in machine learning pipelines. We start by showing LARA to be expressive complete with respect to first-order logic with aggregation. Since LARA is parameterized by a set of user-defined functions which allow to transform values in tables, the exact expressive power of the language depends on how these functions are defined. We distinguish two main cases depending on the level of genericity queries are enforced to satisfy. Under strong genericity assumptions the language cannot express matrix convolution, a very important operation in current machine learning operations. This language is also local, and thus cannot express operations such as matrix inverse that exhibit a recursive behavior. For expressing convolution, one can relax the genericity requirement by adding an underlying linear order on the domain. This, however, destroys locality and turns the expressive power of the language much more difficult to understand. In particular, although under complexity assumptions the resulting language can still not express matrix inverse, a proof of this fact without such assumptions seems challenging to obtain.

研究の動機と目的

• Lara、線形代数と関係代数を統合した言語の表現力を、論理的クエリ言語および機械学習演算の観点から分析すること。
• 行列畳み込みや行列逆行列といった主要な演算をLaraが表現可能な条件を特定すること。
• ユーザー定義関数およびドメインの順序付けが、Laraの表現的完全性および局所性や一般性といった論理的性質に与える影響を調査すること。
• 特に複雑さの理論的仮定に基づかずに、行列逆行列のような複雑な演算の表現不能性を示す可能性を評価すること。
• 再帰的演算（例：行列逆行列）を自然に表現できるように、実用性を保ちつつ最小限の原始的演算をLaraに拡張する方法を検討すること。

提案手法

• Laraの表現的完全性を、集約を伴う一階論理の安全な句法的断片（FO_Agg）に関して示し、ユーザー定義関数のパラメータ化されたクラスを用いる。
• 主に2つの状況に分ける：キー比較に等価性のみを用い、FOで表現可能な関数を用いる「穏やかな」Laraバージョンで、強力な一般性と局所性を満たす。
• ドメインに組み込みの線形順序と算術関数を備えた、より表現力の高いLaraの変種を導入。これにより局所性と一般性が破られるが、より複雑な演算が可能になる。
• 複雑さの理論的推論を用いて、Laraの制限された断片で行列逆行列を表現できれば、Logspace = Det が成り立つことを示し、これは広く誤りであると信じられている崩壊である。
• Ehrenfeucht-Fraïsséゲームを、順序付き設定での表現不能性の証明の可能性として提案するが、組合せ的困難さが伴う。
• 今後の方向性として、特定の演算子（例：畳み込みや逆行列）を穏やかな断片に追加して、再帰的表現力を得る最小限の拡張を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Laraは、集約を伴う一階論理で表現可能なすべてのクエリを表現可能か？ その条件は、ユーザー定義関数にどのような制約がかかるか？
• RQ2 なぜ行列畳み込みはLaraの一般的・局所的バージョンで表現できないのか？ それを表現可能にするにはどのような変更が必要か？
• RQ3 Laraのドメインに線形順序を追加すると、局所性と一般性が破れるか？ その結果、表現力にどのような影響があるか？
• RQ4 複雑さの理論的仮定に依存せずに、行列逆行列がLaraで表現できないことを証明することは可能か？
• RQ5 Laraの穏やかな断片に、再帰的演算（例：行列逆行列）を自然に表現できる最小限の拡張は何か？

主な発見

• ユーザー定義関数が適切に制約されている限り、Laraは集約を伴う一階論理の安全な断片に対して表現的完全性を満たす。
• キー比較に等価性のみを用い、FOで表現可能な関数を用いる「穏やかな」Laraバージョンは、強力な一般性と局所性を満たし、非一般的または再帰的演算を表現できない。
• 行列畳み込みは、一般的・局所的バージョンのLaraでは表現できない。これは強力な一般性要件に違反するためである。
• ドメインに線形順序を追加すると畳み込みを表現可能になるが、局所性と一般性が破れ、論理的分析が複雑になる。
• 標準的な集約演算子と安全な関数を備えたLaraの断片はLogspaceで評価可能であり、この断片で行列逆行列を表現できるとすれば、LogspaceがDetに収縮することを意味する。これは極めて不自然な複雑さの理論的結果である。
• 一般の順序付きLaraバージョンで行列逆行列の表現不能性を、複雑さの仮定なしに証明するのは依然として困難である。Ehrenfeucht-Fraïsséゲームのような手法を適用するには、組合せ的困難さが伴う。