[論文レビュー] On the expressiveness of Parikh automata and related models

Michaël Cadilhac, Alain Finkel+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2011

semigroups and automata theory参考文献 13被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、アフィン変換をカウンタに適用し、文字に基づく制約を課すことによって、古典的PAモデルを拡張することで、パーシュ・オートマトン（PA）およびその変種—アフィンパーシュ・オートマトン（APA）、制約付きオートマトン（CA）、文字上のパーシュ・オートマトン（LPA）—の表現力を調査する。主な貢献は、厳密な階層の確立である：決定的PAは決定的リバースバウンデッド・カウンタ・マシンより厳密に弱く、決定的APAの変種では空集合の決定可能性が非決定的である。

ABSTRACT

The Parikh finite word automaton (PA) was introduced and studied by Klaedtke and Ruess in 2003. Natural variants of the PA arise from viewing a PA equivalently as an automaton that keeps a count of its transitions and semilinearly constrains their numbers. Here we adopt this view and define the affine PA (APA), that extends the PA by having each transition induce an affine transformation on the PA registers, and the PA on letters (LPA), that restricts the PA by forcing any two transitions on same letter to affect the registers equally. Then we report on the expressiveness, closure, and decidability properties of such PA variants. We note that deterministic PA are strictly weaker than deterministic reversal-bounded counter machines. We develop pumping-style lemmas and identify an explicit PA language recognized by no deterministic PA.

研究の動機と目的

• 古典的パーシュ・オートマトンモデルを、計算能力と構造的制約を強化した新しい変種を導入することで拡張すること。
• PA、APA、LPAおよび関連モデルの表現力を、正則、文脈自由、リバースバウンデッド・カウンタ・マシンなどの古典的オートマトンクラスと比較すること。
• これらのモデルの閉包性、空集合の決定可能性、およびポンプ法の存在を調査すること。
• 決定的PAと決定的リバースバウンデッド・カウンタ・マシンの関係を明確にし、厳密な包含関係を示すこと。
• 決定的PAのクラスに属さない明示的な言語を同定することで、言語クラスの既知の階層を精緻化すること。

提案手法

• 各遷移がカウンターベクトルにアフィン変換を適用し、その後にベクトルを加算するようにすることで、アフィンパーシュ・オートマトン（APA）を定義し、元のPAモデルを一般化する。
• 同じ入力文字に対してすべての遷移がカウンターベクトルに同一の影響を与えることを要件とすることで、文字上のパーシュ・オートマトン（LPA）を導入し、表現力を制限する。
• 受容がランのパーシュ・イメージが半線形制約集合に属することに依存するという形式的定式化として、制約付きオートマトン（CA）を導入する。
• ポンプスタイルの補題を用いて、特定の言語（例：$\{a,b\}^*\cdot\{a^n\#a^n \mid n\in\mathbb{N}\}$）の非正則性および非決定的PAへの属性を証明する。
• プレスブルーア算術および半線形集合の結果を活用し、$\mathbb{N}$-定義可能および$\mathbb{Q}$-定義可能集合を特徴付け、それらをオートマトンの制約に関連付ける。
• 閉包性および決定可能性の分析を用いてモデルを比較し、特に決定的変種における空集合および正則性のテストに注目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィンパーシュ・オートマトン（APA）の表現力は、標準的パーシュ・オートマトン（PA）と比べてどの程度で、有理数係数と自然数係数の使用がもたらす影響は何か？
• RQ2 決定的パーシュ・オートマトン（DetPA）は、決定的リバースバウンデッド・カウンタ・マシン（DetRBCM）が表現可能なすべての言語を表現できるか、それとも厳密な階層が存在するか？
• RQ3 決定的アフィンパーシュ・オートマトン（DetAPA）における空集合問題は決定可能か？ その問題の複雑さの上限は何か？
• RQ4 LPAおよびPAモデルが満たす閉包性とは何か？ それらは正則言語および文脈自由言語とはどのように異なるか？
• RQ5 決定的PAが認識する言語クラスは代数的に特徴付け可能か？ また、決定的および非決定的APAの間には意味的な分離が存在するか？

主な発見

• 言語 $\{a,b\}^*\cdot\{a^n\#a^n \mid n\in\mathbb{N}\}$ は $\mathcal{L}_{\text{PA}}$ に属するが $\mathcal{L}_{\text{DetPA}}$ には属さないため、決定的PAと非決定的PAの間には厳密な階層が存在することが証明された。
• 決定的PAは決定的リバースバウンデッド・カウンタ・マシン（DetRBCM）より厳密に弱く、厳密な包含関係 $\mathcal{L}_{\text{DetPA}} \subset \mathcal{L}_{\text{DetRBCM}}$ が確認された。
• 有理数係数を用いたアフィンパーシュ・オートマトン（APA）は、自然数係数を用いたものと同等の表現力を有するため、有理数係数は表現力を向上させない。
• 決定的APAにおける空集合問題は、$\mathbb{N}$ 上でも非決定的であるため、これらのモデルに関する推論の高さが浮き彫りになった。
• LPA言語は、言語のパーシュ・イメージに制約を課した正則言語と等価であり、$\mathcal{L}_{\text{LPA}}$ は和集合、補集合、および二乗に関して閉じていない。
• APAは文脈依存言語のみを表現可能であり、$\mathcal{L}_{\text{APA}}$ は補集合およびモルフィズムに関して閉じていないが、交わりおよび逆モルフィズムに関しては閉じている。