[論文レビュー] On the extendability of parallel sections of linear connections

Antonio J. Di Scala, Gianni Manno|arXiv (Cornell University)|May 29, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、単連結多様体上のベクトル bundle における線形接続の平行切断の拡張に関する十分条件を確立する。特に2次元の場合に注目し、定義域の補集合の余次元が ≥2 であるか、特定の幾何的条件（例えば、零測度のコンパクト集合）を満たす場合、稠密な開部分集合上で定義された平行切断は、全体に一意に拡張可能であることを証明する。応用例として、リーマン面におけるキリングベクトル場の拡張が含まれる。

ABSTRACT

Let $π:E o M$ be a vector bundle over a simply connected manifold and $ abla$ a linear connection in $π$. Let $σ: U ightarrow E$ be a $ abla$-parallel section of $π$ defined on a connected open subset $U$ of $M$. We give sufficient conditions on $U$ in order to extend $σ$ to the whole $M$. We mainly concentrate to the case when $M$ is a $2$-dimensional simply connected manifold.

研究の動機と目的

• 単連結多様体の稠密な開部分集合上で定義された平行切断が、全体に拡張可能となる十分条件を同定すること。
• キリングベクトル場やトラクター接続などの幾何的文脈における、平行切断の非一意性および非拡張可能性を扱うこと。
• 底多様体が2次元で、定義域の補集合の余次元が小さい場合に、切断を拡張する一般枠組みを提供すること。
• コンパクトなリーマン面から有限個の点を除いた場合に、キリングベクトル場を拡張するというMathOverflowの問題を解決すること。
• ℝ² 内の定義域に対して、平行切断の拡張を保証する幾何的条件（R および R⁺）を導入・分析すること。

提案手法

• 平行切断が余次元 ≥2 の補集合を持つ稠密な開部分集合上で存在する場合、接続の曲率は恒等的に消えることから、平坦性が保証され、全体への拡張が可能であるという事実を利用する。
• 平坦接続およびホロノミーの理論を適用し、単連結領域上で切断を拡張する。これは、ホロノミー群の位相的自明性に依存する。
• ℝ² の開部分集合に対して、2つの幾何的条件 R および R⁺ を導入する。R は補集合がコンパクトかつ零レベーグ測度であること、R⁺ はより弱い位相的条件である。
• キリングベクトル場と平行切断を関連付けるために、バンドル TM ⊕ so(TM) 上のコスタント接続を用い、曲率微分の核を通じて拡張を可能にする。
• 局所座標解析および曲率計算を用い、ある種の曲率微分の核が平坦な平行1次元部分バンドルを定義することを示し、これにより切断の拡張が可能になる。
• 定義域 U が M に稠密であることを利用し、点ごとの恒等式（例：ξ ∧ ∇Yξ ≡ 0）を U から全多様体に拡張することで、部分バンドルが平坦かつ平行であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単連結多様体の稠密な開部分集合上で定義された平行切断が、全多様体に拡張可能となる条件は何か？
• RQ2 定義域の補集合の余次元が 2 以上である場合、平行切断の拡張が保証されるか？
• RQ3 ℝ² 内の定義域 U に対して、どのような幾何的または位相的条件が、計量接続または一般接続の平行切断の全空間への拡張を保証するか？
• RQ4 リーマン面から区間を除いた部分でキリングベクトル場が定義されている場合、それが全表面に拡張可能か？
• RQ5 定義域が稠密で補集合の次元が小さい場合、平行切断の拡張が接続の平坦性に帰着可能か？

主な発見

• 定義域 U ⊂ M の補集合の余次元が ≥2 であれば、任意の平行切断が U 上で定義されていようが、M 全体に一意に拡張可能であり、M が単連結でない場合でも成立する。
• 階数1のバンドルでは、稠密な開部分集合上で非零の平行切断が存在するならば、接続は平坦であることが保証され、したがって切断は全空間に拡張可能である。
• 計量を備えた階数2のバンドルでは、稠密な開部分集合上で平行切断が存在するならば、曲率が消えることが強制され、全空間への拡張が可能になる。
• U ⊂ ℝ² で補集合が零レベーグ測度かつコンパクトであれば、条件 R が成立し、計量接続に対して平行切断の拡張が保証される。
• U ⊂ ℝ² に対して条件 R⁺ が成立すれば、一般（計量でない）接続に対しても平行切断の拡張が保証され、従来の結果を一般化する。
• 局所座標で表されたリーマン面から区間を除いた部分で定義されたキリングベクトル場は、常に全表面に拡張可能であり、R. ブライアントがMathOverflowで提示した問題を解決する。