[論文レビュー] On the extendability of projective surfaces and a genus bound for Enriques-Fano threefolds

Andreas Leopold Knutsen, Angelo Felice Lopez+1 more|arXiv (Cornell University)|May 30, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、指定された正規束を備えた3次元多様体における非常に豊かな除集合としての射影的表面の拡張可能性を研究する、新しいガウスィアンマップに基づく手法を導入する。Enriques-Fano 3次元多様体に関しては、種数の上限 $ g \leq 17 $ を確立し、特定のEnriques表面の非拡張可能性を証明するとともに、$ \mathbb{Q} $-平滑化を有しないが、正則だが終極的でない特異点を持つ種数9の新しいEnriques-Fano 3次元多様体を構成する。

ABSTRACT

We introduce a new technique, based on Gaussian maps, to study the possibility, for a given surface, to lie on a threefold as a very ample divisor with given normal bundle. We give several applications, among which one to surfaces of general type and another one to Enriques surfaces. For the latter we prove that any threefold (with no assumption on its singularities) having as hyperplane section a smooth Enriques surface (by definition an Enriques-Fano threefold) has genus g < 18 (where g is the genus of its smooth curve sections). The latter bound was also proved recently by Prokhorov, who also found an example of genus 17. Moreover we find a new Enriques-Fano threefold of genus 9 whose normalization has canonical but not terminal singularities and does not admit Q-smoothings.

研究の動機と目的

• 与えられた射影的表面が、指定された正規束を備えた3次元多様体における非常に豊かな除集合として実現可能かどうかを特定するための、ガウスィアンマップに基づく新しい手法の開発。
• この手法を一般型の表面およびEnriques表面に適用し、特にEnriques-Fano 3次元多様体の文脈において応用する。
• Enriques-Fano 3次元多様体に対して鋭い種数上限を確立し、ハイパーフラットバンドルの可能な超平面切断分解を分類する。
• 新しいEnriques-Fano 3次元多様体の例を構成し、その特異点および変形性質を分析する。
• 正則だが終極的でない特異点を有する特定の3次元多様体が $ \mathbb{Q} $-平滑化を有しないことを証明する。

提案手法

• 表面 $ Y \subset \mathbb{P}^r $ がコhomologicalおよび幾何学的条件を満たす場合に、$ h^0(N_{Y/\mathbb{P}^r}(-1)) $ の一般式を、ガウスィアンマップ $ \Phi_{H_D, \omega_D} $ のコランクの言いかえで与える。
• 曲線切断 $ D \in |D_0| $ 上でのガウスィアンマップおよび積分マップの上への性質を用いて、正規バンドルのコhomologyを制御する。
• 一般型の表面にこの手法を適用し、その多様体的ペアケージングがしばしば3次元多様体への拡張を許さないことを示す。
• Enriques表面におけるハイパーフラットバンドル分解 $ H \equiv D_0 + (H - D_0) $ を分析し、3次元多様体への拡張可能性を分類する。
• 変形理論および $ \mathbb{Q} $-平滑化の存在を用いて、特定の3次元多様体が $ \mathbb{Q} $-カテゴリーで平滑化不可能であることを示す。
• 変形および特殊化の議論を用いて、種数9の新しいEnriques-Fano 3次元多様体を構成し、それが正則だが終極的でない特異点を有することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表面 $ Y \subset \mathbb{P}^r $ が、指定された正規束を備えた3次元多様体における非常に豊かな除集合として拡張可能でないための条件は何か？
• RQ2 Enriques表面が3次元多様体（すなわちEnriques-Fano 3次元多様体）の超平面切断として現れるための最大の種数 $ g $ は何か？
• RQ3 正則だが終極的でない特異点を有する3次元多様体が $ \mathbb{Q} $-平滑化を有するかどうか、そしてそれがEnriques-Fano 3次元多様体のモジュライ空間における位置づけにどのような意味を持つのか？
• RQ4 Enriques表面におけるハイパーフラットバンドルの分解が、3次元多様体への拡張可能性にどのように制約を加えるか？
• RQ5 特に有理曲線が存在する状況下で、Enriques表面を3次元多様体に拡張するための幾何学的およびコhomologicalな障害は何か？

主な発見

• 任意のEnriques-Fano 3次元多様体の種数は $ g \leq 17 $ で上から有界であり、この上限は鋭い。
• 正則だが終極的でない特異点を有するが、$ \mathbb{Q} $-平滑化を有しない種数9の新しいEnriques-Fano 3次元多様体が構成された。
• この新しい3次元多様体は $ \mathbb{Q} $-平滑化を有しないことから、Minagawaの $ \mathbb{Q} $-平滑化に関する定理が正則の場合にのみ成立し、一般化できないことが示された。
• 種数9の3次元多様体は、巡回商終極的特異点を有する3次元多様体の族の極限として得られるが、その極限は $ \mathbb{Q} $-平滑化不可能である。
• この手法により、特にタイプ $ 2A $ の超平面バンドルを有するEnriques表面は、特定のコhomological条件が満たされない限り、3次元多様体への拡張が不可能であることが証明された。
• 種数 $ g \leq 17 $ の任意のEnriques-Fano 3次元多様体の一般Enriques表面切断には、ハイパーフラットバンドル分解の幾何的性質から有理曲線が含まれる必要がある。