[論文レビュー] On the extendibility of finitely exchangeable probability measures

Takis Konstantopoulos, Linglong Yuan|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2015

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、局所コンパクトハウスドルフ空間上の有限交換可能性確率測度の有限および無限への拡張可能性について、関数解析的および測度論的手法を用いて必要十分条件を確立する。主な貢献は、有界線形汎関数とハーン＝バナッハの定理を用いた拡張可能性の特徴付けであり、符号付き指標測度を用いた有限交換可能性へのデ・フィネッティの定理の一般化を含む。

ABSTRACT

A length-$n$ random sequence $X_1,\ldots,X_n$ in a space $S$ is finitely exchangeable if its distribution is invariant under all $n!$ permutations of coordinates. Given $N > n$, we study the extendibility problem: when is it the case that there is a length-$N$ exchangeable random sequence $Y_1,\ldots, Y_N$ so that $(Y_1,\ldots,Y_n)$ has the same distribution as $(X_1,\ldots,X_n)$? In this paper, we give a necessary and sufficient condition so that, for given $n$ and $N$, the extendibility problem admits a solution. This is done by employing functional-analytic and measure-theoretic arguments that take into account the symmetry. We also address the problem of infinite extendibility. Our results are valid when $X_1$ has a regular distribution in a locally compact Hausdorff space $S$. We also revisit the problem of representation of the distribution of a finitely exchangeable sequence.

研究の動機と目的

• 局所コンパクトハウスドルフ空間上での有限交換可能性確率測度が、より長いまたは無限の交換可能性列に拡張可能となる条件を特定すること。
• このような分布を表す指標符号付き測度の特徴付けを通じて、デ・フィネッティの定理を有限交換可能性に一般化すること。
• 対称線形汎関数と測度論的道具を用いて、交換可能性列の拡張可能性問題を解消すること。
• 有界線形汎関数を用いた対称関数空間への有限交換可能性法則の拡張のための関数解析的枠組みを提供すること。

提案手法

• 有界可測関数空間 $S^n$ 上の対称線形汎関数の拡張問題として、拡張可能性問題を定式化する。
• 対角関数上で定義された原始的汎関数を拡張し、周辺分布の積分を保つ $k$-拡張汎関数の概念を導入する。
• ハーン＝バナッハの定理を用いて、対角関数上で定義された原始的汎関数を、全対称関数空間への拡張に適用する。
• リースの表現定理を用いて、汎関数が正かつ有界であれば、$S^N$ 上の確率測度に対応することを保証する。
• 確率測度空間 $\mathscr{P}(S)$ 上の集合関数および符号付き測度を用いて、$n$-交換可能性列の分布を表現する。
• 拡張可能性が、拡張条件を満たす対称的かつ有界な線形汎関数の存在と同値であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所コンパクトハウスドルフ空間上での $n$-交換可能性確率測度が、$N > n$ に対して $N$-交換可能性測度に拡張可能となる条件は何か？
• RQ2 有限交換可能性列を表す指標符号付き測度はどのように特徴づけられ、どのような条件下で拡張可能となるか？
• RQ3 有限交換可能性法則の無限拡張可能性について、関数解析的基準は存在するか？
• RQ4 ハーン＝バナッハの定理を用いて、対角関数上で定義された対称的汎関数を全対称関数空間へ一貫的に拡張できるか？
• RQ5 指標符号付き測度の全 variation が拡張可能性を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• $n$-交換可能性法則の $N$-拡張可能性の必要十分条件は、周辺分布によって定義される原始的汎関数を拡張する対称的かつ有界な線形汎関数の存在にある。
• 拡張可能性問題は、対角関数上で周辺期待値と一致する正かつ有界な線形汎関数が対称関数空間上に存在するかという問題に還元される。
• $n=2$ の場合、ハーン＝バナッハの定理を用いて明示的な $2$-拡張汎関数を構成し、そのノルムが $1$ であることを証明することで、周辺積分と一貫性があることを保証する。
• リースの表現定理により、汎関数が正であれば、拡張された汎関数は $S^N$ 上の確率測度に対応し、有効な $N$-交換可能性拡張が得られる。
• 一般に、$n$-交換可能性法則を表す指標符号付き測度 $\nu$ は一意的でないが、拡張可能性は関連する汎関数の整合的拡張の存在に依存する。
• 本論文は、無限拡張可能性が、すべての $N > n$ に対して $N$-拡張汎関数の整合的系列の存在と同値であることを示し、汎関数の拡張と正性に基づく基準を提示する。