[論文レビュー] On the extinction profile of solutions to fast-diffusion

Panagiota Daskalopoulos, Nataša Šešum|ArXiv.org|Sep 19, 2006

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 1被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$m \in \left(0, \frac{N-2}{N}\right)$ における $\mathbb{R}^N$ 上の高速拡散方程式 $u_t = \Delta u^m$ の解の消滅プロファイルを分析し、初期データが2つのバレンブレット解の間で有界である場合、消滅時刻 $T$ に近づくにつれて、スケーリングされた解がバレンブレットプロファイルに一様かつ $L^1$ 収束することを示している。主な結果は、初期データが2つのバレンブレットプロファイルの間に挟まれている場合、消滅挙動がバレンブレット解によって支配されることを確立している。

ABSTRACT

We study the extinction behavior of solutions to the fast diffusion equation $u_t = Δu^m$ on $\R^N imes (0,T)$, in the range of exponents $m \in (0, \frac{N-2}{N})$, $N > 2$. We show that if the initial data $u_0$ is trapped in between two Barenblatt solutions vanishing at time $T$, then the vanishing behaviour of $u$ at $T$ is given by a Barenblatt solution. We also give an example showing that for such a behavior the bound from above by a Barenblatt solution $B$ (vanishing at $T$) is crucial: we construct a class of solutions $u$ with initial data $u_0 = B (1 + o(1))$, near $ |x| >> 1$, which live longer than $B$ and change behaviour at $T$. The behavior of such solutions is governed by $B(\cdot,t)$ up to $T$, while for $t >T$ the solutions become integrable and exhibit a different vanishing profile. For the Yamabe flow ($m = \frac{N-2}{N+2}$) the above means that these solutions $u$ develop a singularity at time $T$, when the Barenblatt solution disappears, and at $t >T$ they immediately smoothen up and exhibit the vanishing profile of a sphere. In the appendix we show how to remove the assumption on the bound on $u_0$ from below by a Barenblatt.

研究の動機と目的

• 消滅時刻 $T$ に近い高速拡散方程式の解の漸近的挙動を理解すること。
• 解の消滅プロファイルがバレンブレット解によって支配される条件を特定すること。
• プロファイル収束のための初期データに対するバレンブレット解による上界および下界の必要性を調査すること。
• ヤマベフローの場合（$m = \frac{N-2}{N+2}$）を分析し、特異性の発展と滑らか化への影響を検討すること。
• 付録における構成により、初期データに対する下位バレンブレット境界の仮定を除去し、それがプロファイル収束に必要不可欠であることを示すこと。

提案手法

• 時刻 $T$ に近づくに従い、問題を時間不変方程式に変換するためのスケーリング $\tilde{u}(x,\tau) = (T-t)^{-\beta} u(x(T-t)^\gamma, t)$ と $\tau = -\log(T-t)$ を用いる。
• 最大原理を適用して、初期データが2つのバレンブレット解の間に挟まれている場合、$B_{k_1}(x,t) \leq u(x,t) \leq B_{k_2}(x,t)$ を確立する。
• アロンソン・ベニラン不等式を用いて、$B^m(x,t)$ と $L^1$ ピアラーションの観点から $u^m(x,t)$ の点ごとの境界を得る。
• 径数的上界および下界関数 $\underline{u}_0(r)$, $\overline{u}_0(r)$ を用いた比較原理により、径数的結果を非径数的初期データへ拡張する。
• $(r^2 + 1)^{-1/(1-m)}$ を用いた $\tilde{u}(x,\tau)$ の一様有界性を確立し、バレンブレットプロファイルへの収束を導く。
• 係数 $\tilde{a}(x,\tau)$ が $\tilde{C}_1(r^2+1) \leq \tilde{a} \leq \tilde{C}_2(r^2+1)$ を満たす線形化方程式を用いて $\tilde{u} - \tilde{B}$ の差を分析し、収束の証明を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高速拡散方程式の解の消滅プロファイルがバレンブレット解に収束する条件は何か？
• RQ2 初期データがバレンブレット解によって上から有界であることは、プロファイル収束に必要か？
• RQ3 初期データがバレンブレットプロファイルに漸近的に近いが、それを上回らない場合、解の挙動はどのように変化するか？
• RQ4 バレンブレット解の消滅時刻 $T$ を超えて生存する解では、何が起こるか？
• RQ5 初期データに対する下位バレンブレット境界の仮定を除去することは可能か？もし可能なら、どのような条件下で可能か？

主な発見

• $\frac{N-4}{N-2} < m < \frac{N-2}{N}$ の場合、初期データ $u_0$ が2つのバレンブレット解の間に挟まれているならば、スケーリングされた解 $\tilde{u}$ は一様収束および $L^1$ 収束により、質量保存 $\int u_0 \, dx = \int B_{k_0} \, dx$ により一意に定まるバレンブレットプロファイル $\tilde{B}_{k_0}$ に収束する。
• $0 < m \leq \frac{N-4}{N-2}$ の場合、$u_0 = B_{k_0} + f$ で $f \in L^1$ ならば、$\tilde{u}$ は一様に $\tilde{B}_{k_0}$ に収束する。これは、プロファイルが $L^1$ ピアラーションによって決定されることを示している。
• $|x| \to \infty$ で $u_0 = B(1 + o(1))$ だが、$u$ が $B$ よりも長く生存する例を構成した。$t > T$ では $u$ は可積分となり、異なる消滅プロファイルを示す。
• ヤマベフロー（$m = \frac{N-2}{N+2}$）の場合、$T$ で消滅する解が $T$ を超えて生存する場合、直ちに滑らか化し、球対称な消滅プロファイルを示す。
• 収束結果が成り立つためには、$|x| \to \infty$ で $u_0(x) \sim \left(\frac{C^* T}{|x|^2}\right)^{1/(1-m)}$ という成長条件が必要である。これを満たさない場合、プロファイルはバレンブレット型でない可能性がある。
• 付録では、$u_0 = B_{k_0} + f$（$f \in L^1$）を満たす解を構成し、$\tilde{B}_{k_0}$ への収束を証明することで、初期データに対する下位バレンブレット境界の仮定を除去できることを示した。