[論文レビュー] On the Extremal Zagreb Indices of $\mathbf{ extit{n}}$-Vertex Chemical Trees with Fixed Number of Segments or Branching Vertices

Sadia Noureen, Akbar Ali+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2019

Computational Drug Discovery Methods参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、固定されたセグメント数（$k$）または分岐頂点数（$b$）を持つ$n$-頂点の化学的木について、第一および第二のZagreb指標を最大化するものを特徴づけている。構造的グラフ理論および次数列解析を用いて、頂点次数分布と辺重み付き和を最適化し、$k$ もしくは $b$ に応じて特定の木構成が最大Zagreb指標を達成することを証明した。$M_1$ および $M_2$ の閉形式式がそれぞれのケースで導出された。

ABSTRACT

Let $\mathcal{CT}_{n,k}$ and $\mathcal{CT}^*_{n,b}$ be the classes of all $n$-vertex chemical trees with $k$ segments and $b$ branching vertices, respectively, where $3\le k\le n-1$ and $1\le b< \frac{n}{2}-1$. The solution of the problem of finding trees from the class $\mathcal{CT}_{n,k}$ or $\mathcal{CT}^*_{n,b}$, with the minimum first Zagreb index or minimum second Zagreb index follows directly from the main results of [MATCH Commun. Math. Comput. Chem. 72 (2014) 825-834] or [MATCH Commun. Math. Comput. Chem. 74 (2015) 57-79]. In this paper, the chemical trees with the maximum first/second Zagreb index are characterized from each of the aforementioned graph classes.

研究の動機と目的

• 固定されたセグメント数 $k$ または分岐頂点数 $b$ を持つ $n$-頂点の化学的木 $\mathcal{CT}_{n,k}$ および $\mathcal{CT}^{*}_{n,b}$ において、第一および第二のZagreb指標を最大化する木を同定すること。
• セグメント数（$k$）または分岐頂点数（$b$）に制約を課した場合の、$M_1$ および $M_2$ を最大にする木の極値グラフ理論的問題を解明すること。
• $\mathcal{CT}_{n,k}$ および $\mathcal{CT}^{*}_{n,b}$ の各クラスにおける極値木の明示的な次数列の特徴づけと構造的性質を提示すること。
• $n$、$k$、$b$ の関数として、$M_1$ および $M_2$ の最大値の閉形式式を導出すること。

提案手法

• $k$（セグメント）または $b$（分岐頂点）に制約を課えた $n$-頂点の化学的木の次数列を分析すること。
• 補題を用いて、$k \mod 3$ に応じて $n_3=0$ または $n_3=1$ となるような頂点次数に関する必要条件を確立すること。
• 構造的制約の適用：特定の $b$ に対して極値木には次数2の頂点が存在しないこと、および次数4の頂点の誘導部分グラフが木であること。
• $M_2(G) = \sum_{uv \in E(G)} d_u d_v$ を用いた辺重み付き和の最適化を実行し、$b$ の区間ごとに場合分けして解析すること。
• 辺のタイプ数 $x_{i,j}$（次数 $i$ と $j$ の頂点の間の辺の数）を定義・分析し、$M_2$ の計算に用いること。
• 矛盾による証明（例：辺の入れ替え）を用いて、最適な木の極値性および構造的一意性を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $k$ 個のセグメントを持つ $n$-頂点の化学的木の中で、第一および第二のZagreb指標を最大化するのはどれか？
• RQ2 分岐頂点数が $b$ 個の $n$-頂点の化学的木の中で、第一および第二のZagreb指標を最大化するのはどれか？
• RQ3 $\mathcal{CT}_{n,k}$ および $\mathcal{CT}^{*}_{n,b}$ において、$M_1$ および $M_2$ を最大にする木の構造的性質および次数列の性質は何か？
• RQ4 $M_1$ および $M_2$ の最大値は $n$、$k$、$b$ にどのように依存するか？

主な発見

• すべての $1 \leq b < \frac{n-2}{3}$ に対して、最大第二Zagreb指標 $M_2(C^\prime T^{2}_{\text{max}})$ は $1 \leq b \leq \frac{n-4}{5}$ のとき $4n + 16b - 12$ に達する。
• $\frac{n-4}{5} < b < \frac{n-2}{3}$ のとき、最大 $M_2(C^\prime T^{2}_{\text{max}})$ は $6n + 6b - 20$ に達する。
• $\frac{n-2}{3} \leq b < \frac{3n-4}{7}$ のとき、最大 $M_2(C^\prime T^{2}_{\text{max}})$ は $10n - 6b - 28$ に達する。
• $\frac{3n-4}{7} \leq b < \frac{n}{2} - 1$ のとき、最大 $M_2(C^\prime T^{2}_{\text{max}})$ は $16n - 20b - 36$ に達する。
• 極値木 $C^\prime T^{2}_{\text{max}}$ は、次数4の頂点の誘導部分グラフが木であり、各次数3の頂点は高々1つの次数4の隣接頂点を持つ。
• 極値木は次数列および辺タイプ分布によって一意に特徴づけられ、$x_{i,j}$ のカウントを用いて $M_2$ を正確に計算できる。