[論文レビュー] On the failure of Gorensteinness at weight 1 Eisenstein points of the eigencurve

Adel Betina, Mladen Dimitrov+1 more|Explore Bristol Research|Apr 2, 2018

Advanced Algebra and Geometry被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、古典的重さ1のイジンスタイン点における固有曲線の局所的幾何を調査し、その点において固有固有曲線が重さ空間の上にエタールであることを証明するとともに、その点における局所環がコーエン・マカウレイではあるがゴレンシュタインでないことを示している。$ R = T $ 定理を確立し、過収束形式のフーリエ係数を計算し、剰余写像の幾何的構成を用いてフェラロ＝グリーンバーグの定理およびグロスの公式を新たに証明し、合同イデアルがクーバータ–レオポルトの $ p $-進 $ L $-関数によって生成されることを示している。

ABSTRACT

We prove that the cuspidal eigencurve $C_{\\mathrm{cusp}}$ is \\'etale over the weight space at any classical weight $1$ Eisenstein point $f$ and meets two Eisenstein components of the eigencurve $C$ transversally at $f$. Further, we prove that the local ring of $C$ at $f$ is Cohen--Macaulay but not Gorenstein and compute the Fourier coefficients of a basis of overconvergent weight $1$ modular forms lying in the same generalised eigenspace as $f$. In addition, we prove an $R=T$ theorem for the local ring at $f$ of the closed subspace of $C$ given by the union of $C_{\\mathrm{cusp}}$ and one Eisenstein component and prove unconditionally, via a geometric construction of the residue map, that the corresponding congruence ideal is generated by the Kubota--Leopoldt $p$-adic $L$-function. Finally we obtain a new proof of the Ferrero--Greenberg Theorem and Gross' formula for the derivative of the $p$-adic $L$-function at the trivial zero.

研究の動機と目的

• 古典的重さ1イジンスタイン点における固有曲線の局所的構造を理解すること、特にゴレンシュタイン性の失敗を明らかにすること。
• そのような点における局所環に対して $ R = T $ 定理を確立すること。これには固有部分と1つのイジンスタイン成分を統合する。
• 重さ1の過収束モジュラー形式のフーリエ係数を、イジンスタイン点と同じ一般化固有空間に属するものとして計算すること。
• フェラロ＝グリーンバーグの定理および $ p $-進 $ L $-関数の微分に関するグロスの公式を、幾何的構成を用いて再証明すること。

提案手法

• 通常のガロア変形理論を用いて、イジンスタイン級数に関連する標準的な可約で非分裂なガロア表現を構成する。
• ベイカー–ブルーマーの定理を適用し、ほぼ通常の変形の接空間を解析し、それらをイwasawaコホホロジーと関連付ける。
• ガロア表現の非可約な変形を構成することで、固有固有曲線が重さ空間の上にエタールであることを調べる。
• ウィルズの数論的基準を用いて、局所環内のヘッケ環の像が完全交差であることを証明する。
• 剰余写像の幾何的構成を用いて、合同イデアルがクーバータ–レオポルトの $ p $-進 $ L $-関数によって生成されることを示す。
• 非固有のヒダ族に対する双対性定理を適用し、イジンスタイン族の定数項を解析することで、フーリエ係数の公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的重さ1イジンスタイン点において、固有固有曲線は重さ空間の上にエタールであるか？
• RQ2 そのような点における固有曲線の局所環はゴレンシュタイン的か。そうでなければ、その構造はいかなるものか？
• RQ3 そのような点における合同イデアルは、クーバータ–レオポルトの $ p $-進 $ L $-関数によって生成可能か？
• RQ4 イジンスタイン点と同じ一般化固有空間に属する過収束重さ1モジュラー形式のフーリエ係数は何か？
• RQ5 フェラロ＝グリーンバーグの定理および $ p $-進 $ L $-関数の微分に関するグロスの公式は、幾何的に再導出可能か？

主な発見

• 任意の古典的重さ1イジンスタイン点 $ f $ において、固有固有曲線 $ \mathscr{C}_{\operatorname{cusp}} $ は重さ空間 $ \mathcal{W} $ の上にエタールであり、$ f $ を通る固有成分が一意に存在することを意味する。
• 点 $ f $ における固有曲線の局所環 $ \mathcal{T} $ はコーエン・マカウレイではあるがゴレンシュタインでない。また、$ \varLambda \times_{\bar{\mathbb{Q}}_p} \varLambda \times_{\bar{\mathbb{Q}}_p} \varLambda $ に同型であり、対角 $ \varLambda $-代数構造を持つ。
• ヘッケ環 $ \varLambda[T_\ell]_{\ell \nmid Np} $ の局所環 $ \mathcal{T} $ における像 $ \mathcal{T}' $ は完全交差であり、$ \{(a,b,c) \in \varLambda^3 \mid a(0) = b(0) = c(0)\} $ に同型である。
• 点 $ f $ における合同イデアルは、剰余写像の幾何的構成により、クーバータ–レオポルトの $ p $-進 $ L $-関数によって生成されることを、条件なしに証明した。
• $ p $-進 $ L $-関数の自明零点における微分は $ L_p'(\phi\omega_p, 0) = \mathscr{L}(\phi)L(\phi, 0) $ を満たし、フェラロ＝グリーンバーグの定理の新しい証明が得られた。
• 過収束形式 $ f^\dagger_{\mathbf{1},\phi} $ および $ f^\dagger_{\phi,\mathbf{1}} $ のフーリエ係数が明示的に計算され、$ a_0(f^\dagger_{\mathbf{1},\phi}) = (\mathscr{L}(\phi) + \mathscr{L}(\phi^{-1})) \cdot \frac{L(\phi, 0)}{2} $ が成り立つ。