[論文レビュー] On the false discovery proportion convergence under Gaussian equi-correlation

Sylvain Delattre, Étienne Roquain|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2010

Random Matrices and Applications参考文献 9被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、仮説数 m → ∞ の際に相関 ρₘ → 0 となるガウス的等相関モデルにおけるBenjamini-Hochberg手順の誤発見割合（FDP）の収束速度を検討する。FDPが誤発見率（FDR）に収束する速度は {min(m, 1/ρₘ)}^{1/2} であり、mρₘ → ∞ の場合には収束が著しく遅くなることが示され、弱い依存性がFDPがFDRの周囲に集中するのを著しく遅らせる可能性を示している。

ABSTRACT

We study the convergence of the false discovery proportion (FDP) of the Benjamini-Hochberg procedure in the Gaussian equi-correlated model, when the correlation $\ ho_m$ converges to zero as the hypothesis number $m$ grows to infinity. By contrast with the standard convergence rate $m^{1/2}$ holding under independence, this study shows that the FDP converges to the false discovery rate (FDR) at rate $\\{\\min(m,1/\ ho_m)\\}^{1/2}$ in this equi-correlated model.

研究の動機と目的

• ガウス的等相関下で、仮説数 m が増加する際、相関 ρₘ → 0 となる条件下でのBenjamini-Hochberg（BH）手順の誤発見割合（FDP）が誤発見率（FDR）にどのように収束するかを理解すること。
• テスト統計量間の相関 ρₘ が m が増加するにつれて 0 に近づく際、FDP の漸近的収束速度を同定すること。
• 特に ρₘ = O(1/m) または mρₘ → ∞ の場合に、弱い依存性下でもFDPがFDRの周囲にうまく集中するかを調査すること。
• 等相関下での収束行動を、独立同一分布（i.i.d.）の場合（収束速度が √m）と比較すること。
• 相関が弱いが非ゼロである場合の多重仮説検定手順に与える実用的影響を評価すること。

提案手法

• テスト統計量を Xᵢ = τᵢ + Yᵢ とモデル化し、(Y₁,…,Yₘ) を平均 0、分散 1、等相関 ρₘ を持つ交換可能なガウス分布と仮定する。
• p値を pᵢ = Φ(Xᵢ) と定義し、Φ を標準正規分布の上側確率関数とする。また、真の帰無仮説の割合 π₀ が固定されていると仮定する。
• 関数的デルタ法とドンスカーの定理を用いて、帰無仮説および対立仮説下でのp値の経験過程の弱収束を分析する。
• スコロホドの表現定理を用いて、適切な中心化とスケーリングの後、FDPの弱収束を正規分布に導く。
• mρₘ → θ ∈ [−1, ∞) のとき、√m(FDPₘ − π₀α) の極限分布を導出し、mρₘ → ∞ のときには ρₘ^{−1/2}(FDPₘ − π₀α) の極限分布を導出する。
• p値が漸近的に独立になるようにデータ変換を考案し、π₀、μ、ρ のパラメータが既知の場合、FDPが再び √m の収束速度を回復できることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テスト統計量間の相関 ρₘ が m が増加するにつれて 0 に近づく際、FDP が FDR に収束する速度はどのように変化するか？
• RQ2 ρₘ → 0 のとき、等相関ガウスモデル下でBH手順のFDPの極限分布は何か？
• RQ3 mρₘ → ∞ であっても、ρₘ → 0 である場合に、FDP は FDR の周囲にうまく集中するか？
• RQ4 π₀、μ、ρ が既知であると仮定した場合、p値を変換することで、等相関下でもFDPの収束速度を √m に回復できるか？
• RQ5 等相関モデル下で、FDPの漸近的分散は mρₘ の極限値にどのように依存するか？

主な発見

• ρₘ → 0 かつ m → ∞ のとき、BH手順のFDPは {min(m, 1/ρₘ)}^{1/2} の速度でFDRに収束する。
• mρₘ → θ ∈ [−1, ∞) のとき、収束速度は √m であり、独立な場合と同一で、漸近的分散は θ に依存する。
• mρₘ → ∞ かつ ρₘ → 0 のとき、収束速度は √m より著しく遅くなり、ρₘ^{−1/2} に低下する。
• θ > 0 のときFDPの漸近的分散は大きく、θ < 0 のときは小さく、θ = 0 のときは独立な場合と同一になる。
• mρₘ → ∞ のとき、FDPはFDRに任意に遅く収束する可能性があり、実用上不安定である可能性を示唆する。
• 既知のモデルパラメータのもとで、テスト統計量を負の等相関を誘導するように変換することで、FDPの収束速度を再び √m に回復できる。