[論文レビュー] On the fermionic p-adic integral representation of Bernstein polynomials associated with Euler numbers and polynomials

T. Kim, J. Choi+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2010

Advanced Mathematical Identities参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、p進数体 ℤₚ 上で、ベルヌーイ多項式のフェルミオン的 p進積分表現を確立し、p進解析を通じてオイラー数および多項式と関連付ける。フェルミオン的 p進積分によるベルヌーイ多項式の積の明示的恒等式を導出し、二項係数と符号の交互和を含む組合せ的和を用いた、オイラー数および多項式に関する新たな関係を導く。

ABSTRACT

In this paper, we give a fermionic p-adic integral representions of Benstein polynomials associated with Euler numbers and polynomials. Finally, we give some interesting identities for the Euler numbers by using the properties of our integral represention.

研究の動機と目的

• p進数体におけるベルヌーイ多項式のフェルミオン的 p進積分表現を調査すること。
• p進積分恒等式を通じて、ベルヌーイ多項式とオイラー数および多項式を結びつけること。
• ベルヌーイ多項式の積のフェルミオン的 p進積分を用いて、オイラー数に関連する新たな組合せ的恒等式を導出すること。
• 多重度を含む複数のベルヌーイ多項式への拡張により、既知のオイラー数の恒等式を一般化すること。
• 単項式およびベルヌーイ多項式の積のフェルミオン的 p進積分をオイラー数の観点から体系的に計算する手法を確立すること。

提案手法

• 一様微分可能関数 f ∈ UD(ℤₚ) に対して定義される、ℤₚ 上のフェルミオン的 p進不変積分 I₋₁(f) = ∫ℤₚ f(x) dμ₋₁(x) を用いる。
• 生成関数の恒等式 ∫ℤₚ e^(xt) dμ₋₁(x) = 2/(eᵗ + 1) eᵗˣ = ∑ₙ Eₙ(x) tⁿ/n! を適用し、積分をオイラー多項式と関連付ける。
• ベルヌーイ多項式 Bₖ,ₙ(x) = (n choose k) xᵏ(1−x)ⁿ⁻ᵏ を二項定理を用いて、単項式 xᵐ の線形結合として展開する。
• ∫ℤₚ xᵐ dμ₋₁(x) = Eₘ を用いて、Bₖ,ₙ(x) のフェルミオン的 p進積分を Eₘ を含む和として表現する。
• 積の形で複数のベルヌーイ多項式を扱う際には、x および (1−x) の単項式として積を表現し、積分公式を適用する。
• 多項係数およびオイラー数の符号の交互和を用いて、∏ᵢ Bₖ,ₙᵢᵐⁱ(x) の積分の閉じた形の式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一のベルヌーイ多項式 Bₖ,ₙ(x) のフェルミオン的 p進積分は、どのようにオイラー数で表されるか？
• RQ2 与えられた多重度を持つ複数のベルヌーイ多項式の積にフェルミオン的 p進積分を適用した場合、どのような恒等式が得られるか？
• RQ3 Bₖ,ₙ(x) = Bₙ₋ₖ,ₙ(1−x) という対称性は、p進積分の結果にどのように影響するか？
• RQ4 ベルヌーイ多項式の積の積分は、二項係数および符号の交互和を含むオイラー数の和に簡約可能か？
• RQ5 ベルヌーイ多項式の積の積分が 2 + Eₘ を与える条件は何か？ また、非自明な和が得られる条件は何か？

主な発見

• 単一のベルヌーイ多項式 Bₖ,ₙ(x) のフェルミオン的 p進積分は、∫ℤₚ Bₖ,ₙ(x) dμ₋₁(x) = (n choose k) ∑ⱼ₌₀ⁿ⁻ᵏ (n−k choose j) (−1)ʲ Eₖ₊ⱼ で与えられる。
• 多重度 m₁,…,mₛ を持つ s 個のベルヌーイ多項式の積については、積分が多項係数に符号の交互和と二項係数およびオイラー数 Eₖ∑mᵢ−ⱼ を含む和として表現される。
• すべての n 次ベルヌーイ多項式 Bᵢ,ₙᵐⁱ(x) (i=0 到 n) の積が含まれる場合、積分はより高次の単一ベルヌーイ多項式のスケーリングされた積分に簡約される。
• 積 ∏ᵢ₌₀ⁿ Bᵢ,ₙᵐⁱ(x) の積分は、∑ᵢ imᵢ = 0 ならば 2 + Eₙ∑mᵢ に等しく、さもなければ二項係数および符号の交互和を含むオイラー数の和に等しい。
• 重要な恒等式として、∑ⱼ₌₀ᴺ (N choose j) (−1)ʲ Eₖ₊ⱼ = 2 + Eₘ (k=0 かつ N=m のとき) を導出する。それ以外の場合は、パラメータに依存する非自明な和が得られる。
• 本研究の結果は、古典的なオイラー数の恒等式を一般化し、数論および特殊関数におけるベルヌーイ多項式の p進解析的枠組みを提供する。