[論文レビュー] On the field intersection problem of generic polynomials: a survey

Akinari Hoshi, Katsuya Miyake|ArXiv.org|Oct 2, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 35被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、特徴量 ≠ 2 の体上の一般多項式の体の交叉および同型問題を解くための体系的な手法を提示する。形式的 Tschirnhausen 変換と多重解体多項式を用い、3次、二面体的5次、その他の一般多項式の分解体が一致する場合の明示的有理パラメータ化を提供している。主な結果は、1種の genus 1 曲線および Thue 方程式を用いて検証されている。

ABSTRACT

Let $k$ be a field of characteristic $ eq 2$. We survey a general method of the field intersection problem of generic polynomials via formal Tschirnhausen transformation. We announce some of our recent results of cubic, quartic and quintic cases the details of which are to appear elsewhere. In this note, we give an explicit answer to the problem in the cases of cubic and dihedral quintic by using multi-resolvent polynomials.

研究の動機と目的

• 体 M 上の一般多項式の分解体が同型であるか、非自明に交叉するかを特定する一般的手法を開発すること。
• 有限群 G の k-一般多項式の体交叉問題に取り組み、特に C₃、S₃、D₄、D₅ に対して対応すること。
• 体拡張の計算を要せず、パrameter 専用の代数的条件として、分解体の同型を特定する明示的基準を提供すること。
• 既知の分解体同型結果を、二面体的5次群 D₅ を含む高次群へ拡張すること。
• 問題をディオファントス方程式および genus 1 曲線上の有理点に関連づけ、有限性および計算可能性の結果を得ること。

提案手法

• 形式的 Tschirnhausen 変換を用いて、一般多項式の異なるパrameter 専用を関連づけ、同型基準を導出する。
• 多重解体多項式を用いて、多項式の分解型に 1 が含まれるかどうかを検出する。これは体の同型を示唆する。
• Hilbert の無限大定理および genus 0 および 1 の曲線上の整数点に関する Siegel の定理を適用し、解の有限性または無限性を導出する。
• 2つの専用が同型な分解体を与える条件を特徴付ける明示的有理パラメータ化（例：z, u, p, q に関する有理関数）を導出する。
• 有界範囲（例：−10000 から 10000）における計算的検証を用いて、理論的基準が有理点および分解型に関して正当化されることを確認する。
• C₃、S₃、D₄、D₅、C₅ に対して既知の一般多項式に依存し、パrameter 空間における変換規則を用いて同型条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体 M 上で、パrameter a, b ∈ M に対して、一般3次多項式 fₐ^{C₃}(X) および f_b^{C₃}(X) の分解体が一致する条件は何か？
• RQ2 パrameter z ∈ M に対して、S₃-一般多項式 f_a^{S₃}(X) の2つの専用の分解体が同型であることを保証する有理関数変換は何か？
• RQ3 パrameter p, q ∈ M を用いて、D₄-一般多項式 f_{a,b}^{D₄}(X) の2つの専用が同型な分解体を与えるかをどのように特定できるか？
• RQ4 整数解 (s₁, t₁) ∈ ℤ² のうち、ℚ 上で Lehmer の単純5次多項式 h_n(X) の分解体が異なる n および n′ に対して一致するものは何か？
• RQ5 C₅-一般多項式 g_{A,B}^{C₅}(X) の2つの専用の分解体が一致する条件は何か？また、多重解体多項式を用いてどのように検出できるか？

主な発見

• 3次の場合、体 M 上で f_m^{C₃}(X) および f_n^{C₃}(X) の分解体が一致するための必要十分条件は、n が m とパrameter z ∈ M に関する特定の有理関数で与えられることである。2通りの形が提示されている。
• S₃ の場合、分解体の同型が成立するのは、ある u ∈ M に対して b = a(u² + 9u − 3a)³ / (u³ − 2au² − 9au − 2a² − 27a)² が成り立つ場合に限る。
• D₄ の場合、f_{a,b}^{D₄}(X) および f_{a′,b′}^{D₄}(X) の分解体が一致するのは、(a′, b′) が (a, b) に対してパrameter p, q ∈ M に関する2通りの2次パラメータ化で関連づけられる場合に限る。
• 二面体的5次の場合、範囲 −400 ≤ s₁, t₁ ≤ 400 の整数対 (s₁, t₁) において、Spl_ℚ f_{0,1}^{D₅}(X) = Spl_ℚ f_{s₁,t₁}^{D₅}(X) を満たすものがちょうど 25 個存在し、そのうち 12 個が X₁ に、13 個が X₂ に属する。
• C₅-一般多項式 g_{A,B}^{C₅}(X) に対しては、範囲 −50 ≤ a,a′ ≤ 50、0 ≤ b,b′ ≤ 50 において、異なるパrameter を持つが同型な分解体を与えるペア (a,b,a′,b′) がちょうど 10 組存在し、X₁ と X₂ に分布している。
• Lehmer の単純5次多項式 h_n(X) に対しては、[−10000, 10000] の範囲で n < n′ を満たす唯一の整数ペアで Spl_ℚ h_n(X) = Spl_ℚ h_{n′}(X) が成り立つのは (n, n′) = (−2, −1) である。分解型解析により確認された。