[論文レビュー] On the Field Theoretical Approach to the Anomalous Scaling in Turbulence

A. Runov|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 1999

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、2次元および無限次元の確率的ナビエ＝ストークス方程式に場の理論的手法を適用し、負の臨界次元を持つ無限個のギャリレオ変換不変な合成演算子の存在を示した。これは構造関数の異常スケーリングを支持するものであり、エネルギー散逸率の二乗に関連する下位演算子の1階エプシロン展開による明示的計算により、d=2では著しく負の臨界次元が得られ、d→∞では臨界次元が消えることが示された。

ABSTRACT

Anomalous scaling problem in the stochastic Navier-Stokes equation is treated in the framework of the field theoretical approach, successfully applied earlier to the Kraichnan rapid advection model. Two cases of the space dimensions d=2 and d->infinity, which allow essential simplification of the calculations, are analysed. The presence of infinite set of the Galilean invariant composite operators with negative critical dimensions in the model discussed has been proved. It allows, as well as for the Kraichnan model, to justify the anomalous scaling of the structure functions. The explicit expression for the junior operator of this set, related to the square of energy dissipation operator, has been found in the first order of the epsilon-expansion. Its critical dimension is strongly negative in the two dimensional case and vanishes while d->infinity.

研究の動機と目的

• 場の理論的手法を用いて、確率的ナビエ＝ストークス方程式における異常スケーリング問題を扱う。
• クライチナンの急速拡散モデルで成功した場の理論的アプローチを、ナビエ＝ストークス系に拡張する。
• 理論における合成演算子の構造、特にその臨界次元を分析する。
• ギャリレオ変換不変な負の臨界次元を持つ無限個の合成演算子の存在を確立する。
• エネルギー散逸率の二乗に関連する最低次元の演算子の臨界次元をエプシロン展開で計算する。

提案手法

• クライチナン・モデルの解析に事前に用いられた場の理論的手法を、確率的ナビエ＝ストークス方程式に適用する。
• 解析的簡略化が生じる2つの極限ケース、すなわちd=2とd→∞に焦点を当てる。
• ギャリレオ変換に対して不変な合成演算子を同定する。
• エプシロン展開法を用いて、合成演算子の臨界次元を摂動的に計算する。
• エネルギー散逸率の二乗に比例する演算子の臨界次元を計算する。
• 下位演算子の臨界次元がd=2では著しく負であり、d→∞の極限では消えることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クライチナン・モデルに用いられた場の理論フレームワークは、確率的ナビエ＝ストークス方程式にも適用可能か？
• RQ2 ナビエ＝ストークス・モデルには、無限個のギャリレオ変換不変な合成演算子が負の臨界次元を有するか？
• RQ3 エネルギー散逸率の二乗に関連する最低次元の合成演算子の臨界次元は何か？
• RQ4 この演算子の臨界次元は、2次元と無限次元極限の両方でどのように振る舞うか？
• RQ5 このような演算子の存在が、乱流における異常スケーリングを正当化できるか？

主な発見

• 確率的ナビエ＝ストークスモデルには、負の臨界次元を持つ無限個のギャリレオ変換不変な合成演算子が存在する。
• 下位演算子（エネルギー散逸率の二乗に比例）の臨界次元は、2次元空間において著しく負である。
• d→∞の極限において、この演算子の臨界次元は消えるため、スケーリング行動の変化を示している。
• 場の理論的アプローチは、クライチナン・モデルと同様に、このモデルにおける異常スケーリングをうまく正当化している。
• 臨界次元の明示的計算は、エプシロン展開の1次までで行われた。
• 結果は、異常スケーリングが負の臨界次元を持つ合成演算子の存在に起因するという物理的解釈を支持している。