[論文レビュー] On the final definition of the causal boundary and its relation with the conformal boundary

José Luis Flores, Jónatan Herrera+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、強い因果的時空における因果境界（c-境界）の長年の不整合を解消し、点集合的、歴史的、位相的基準を満たす一意で適切な完成を確立することで、その定義を解決した。一般条件下でc-境界が共形境界の到達可能部分と一致することを証明し、ローレンツ幾何学における2つの主要な手法を調和させ、両境界を時空解析における補完的ツールとして正当化した。

ABSTRACT

The notion of causal boundary $\partial M$ for a strongly causal spacetime $M$ has been a controversial topic along last decades: on one hand, some attempted definitions were not fully consistent, on the other, there were simple examples where an open conformal embedding $i:M\hookarrow M_{0}$ could be defined, but the corresponding conformal boundary $\partial_{i}M$ disagreed drastically with the causal one. Nevertheless, the recent progress in this topic suggests a definitive option for $\partial M$, which is developed here in detail. Our study has two parts: (I) To give general arguments on a boundary in order to ensure that it is admissible as a causal boundary at the three natural levels, i.e., as a point set, as a chronological space and as a topological space. Then, the essential uniqueness of our choice is stressed, and the relatively few admissible alternatives are discussed. (II) To analyze the role of the conformal boundary $\partial_{i}M$. We show that, in general, $\partial_{i}M$ may present a very undesirable structure. Nevertheless, it is well-behaved under certain general assumptions, and its accessible part $\partial_{i}^{*}M$ agrees with the causal boundary. This study justifies both boundaries. On one hand, the conformal boundary $\partial_{i}^{*}M$, which cannot be defined for a general spacetime but is easily computed in particular examples, appears now as a special case of the causal boundary. On the other, the new redefinition of the causal boundary not only is free of inconsistencies and applicable to any strongly causal spacetime, but also recovers the expected structure in the cases where a natural conformal boundary is available. The cases of globally hyperbolic spacetimes and asymptotically conformally flat ends are especially studied.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論への応用を阻害していた、強い因果的時空における因果境界（c-境界）の定義に関する長年の不整合を解消すること。
• 点集合的構造、歴史的順序、位相的性質の3つの自然な基準を満たす、厳密で一意的かつ適切な時空の完成を確立すること。
• c-境界と共形境界の関係を明確にすること、特に両者が以前に不一致を示していた場合の解明。
• 一般条件下で、共形境界の到達可能部分（$\partial_i^*M$）がc-境界と一致することを示し、両構成を正当化すること。
• c-境界が共形不変性を有し、内因的であり、グローバルに双曲的かつ漸近的に共形平坦な時空を含む、すべての強い因果的時空に適用可能であることを示すこと。

提案手法

• 点集合的構造、歴史的順序、位相の3段階の適切性フレームワークを提案し、一貫したc-境界を定義する。
• TIP（未来指向の点集合）とTIF（未来指向の未来集合）の同値類の集合としてc-境界を定義し、過去-未来の識別問題を解消するための洗練された同定ルールを導入する。
• 歴史的位相（chr-位相）とMR位相を用いて、完成における因果的曲線の収束性と極限挙動を比較する。
• 到達可能共形境界 $\partial_i^*M$ を、時空的曲線によって到達可能な共形境界の部分集合として定義し、c-境界と整合性を持つようにする。
• $C^1$ および $C^0$ の境界を持つ例を分析し、$\pi: \partial M \to \partial_i M$ の射影が常に定義可能でないことが判明し、歴史的位相と共形位相における極限挙動の不一致が明らかになった。
• 歴史的位相における $L$-作用素と収束基準を用いて、c-境界内における列の極限挙動を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての強い因果的時空に対して、一意的かつ一貫性があり、適切な定義の可能な因果境界を確立できるか？
• RQ2 過去のc-境界の定義が、簡単な例においてなぜ共形境界と一致しなかったのか？
• RQ3 共形境界の到達可能部分（$\partial_i^*M$）がc-境界と一致する条件は何か？
• RQ4 なぜ一部のケースでは自然な射影 $\pi: \partial M \to \partial_i M$ が定義可能でないのか？
• RQ5 グローバルに双曲的かつ漸近的に平坦な時空において、c-境界をどのように共形境界と調和させられるか？

主な発見

• 提案されたc-境界は、小さな代替集合を除き一意に定義され、点集合的、歴史的、位相的適切性の3基準をすべて満たす。
• 一般条件下で、共形境界の到達可能部分 $\partial_i^*M$ がc-境界と同型であることが示された。特に、共形境界が $C^1$ であり、強く到達可能である場合には顕著に成立する。
• $C^1$ または $C^0$ の境界を持つ例において、$\pi: \partial M \to \partial_i M$ の射影が、歴史的位相と共形位相における極限挙動の不一致のため、常に定義可能でないことが判明した。
• c-境界は、時空的点を裸の特異点として正しく特定し、グローバルに双曲的時空における物理的期待と整合する。
• c-境界は共形不変かつ内因的であるため、共形完成が自然に存在しない時空を含む、すべての強い因果的時空に適用可能である。
• 共形境界が存在し、良好に振る舞う場合には、c-境界の特別な場合として正当化され、長年の概念的緊張が解消された。