[論文レビュー] On the Fine-grained Complexity of One-Dimensional Dynamic Programming

Marvin Künnemann, Ramamohan Paturi+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2017

Optimization and Search Problems被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、1次元動的計画法問題のための細分化された複雑性枠組みを導入し、最小重み部分列（LWS）問題に焦点を当てる。SETHのもとで、LWSの具体化と最小内積やpmin、`q-convolutionといったコア問題との間で、部分的二次時間未満の同等性を同定することで、著者たちは、多くのLWS変種の本質的困難性を説明し、それらの複雑性分析を統一する、タイトな条件付き下界を確立する。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the complexity of one-dimensional dynamic programming, or more specifically, of the Least-Weight Subsequence (LWS) problem: Given a sequence of $n$ data items together with weights for every pair of the items, the task is to determine a subsequence $S$ minimizing the total weight of the pairs adjacent in $S$. A large number of natural problems can be formulated as LWS problems, yielding obvious $O(n^2)$-time solutions. In many interesting instances, the $O(n^2)$-many weights can be succinctly represented. Yet except for near-linear time algorithms for some specific special cases, little is known about when an LWS instantiation admits a subquadratic-time algorithm and when it does not. In particular, no lower bounds for LWS instantiations have been known before. In an attempt to remedy this situation, we provide a general approach to study the fine-grained complexity of succinct instantiations of the LWS problem. In particular, given an LWS instantiation we identify a highly parallel core problem that is subquadratically equivalent. This provides either an explanation for the apparent hardness of the problem or an avenue to find improved algorithms as the case may be. More specifically, we prove subquadratic equivalences between the following pairs (an LWS instantiation and the corresponding core problem) of problems: a low-rank version of LWS and minimum inner product, finding the longest chain of nested boxes and vector domination, and a coin change problem which is closely related to the knapsack problem and (min,+)-convolution. Using these equivalences and known SETH-hardness results for some of the core problems, we deduce tight conditional lower bounds for the corresponding LWS instantiations. We also establish the (min,+)-convolution-hardness of the knapsack problem.

研究の動機と目的

• 1次元動的計画法問題が部分的二次時間未満のアルゴリズムを有する条件を理解すること。
• 要約表現されたLWS問題における本質的計算障壁を特定すること。
• 細分化複雑性理論を用いて、LWS具体化の条件付き下界を確立すること。
• コア問題への部分的二次時間未満の同等性を通じて、多様なLWS問題の複雑性を統一すること。
• 特定のLWS変種がほぼ線形時間で解ける理由を、それに対応するコア問題の扱いやすさによって説明すること。

提案手法

• 要約されたLWS具体化の細分化複雑性を分析する一般枠組みを提案する。
• 各LWS具体化と部分的二次時間未満に同等である「コア問題」を同定する。
• 部分的二次時間未満の同等性を用いて、既知の難しいコア問題からの条件付き下界を移転する。
• コア問題（例：最小内積、pmin、`q-convolution）からのSETHに基づく難易度結果をLWS変種に適用する。
• 既知のほぼ線形時間で解けるLWS問題を再考し、それらの扱いやすさをコア問題の単純さによって説明する。
• 還元と再定式化を用いて、LWSをナップサック問題、LIS、無制限部分和問題といった古典的問題と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LWS問題が部分的二次時間未満で解ける条件は何か？
• RQ2 どのLWS具体化が本質的に困難であり、それはなぜか？
• RQ3 部分的二次時間未満の同等性をどのように用いて、コア問題からLWSに条件付き下界を移転できるか？
• RQ4 一部のLWS問題がその見た目以上に複雑であるにもかかわらず、なぜほぼ線形時間で解けるのか？
• RQ5 コア問題は、LWS具体化の複雑性を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 低ランクLWSと最小内積の間で部分的二次時間未満の同等性が確立され、前者のSETH困難性が示された。
• ナップサックに関連するコイン交換問題がpmin、`q-convolution困難であると証明され、タイトな条件付き下界が確立された。
• ナップサック問題がpmin、`q-convolution困難であると示され、その難易度の新たな複雑性解釈が得られた。
• 最長増加部分列（LIS）問題は、静的LWS変種に還元可能であり、それがソーティングに還元可能であるため、Õ(n)時間で解けることが示された。
• 無制限部分和問題は、1回の畳み込み計算により、Õ(n)時間で解けることが示され、そのほぼ線形時間での解法が説明された。
• 凹型LWS問題は、完全単調行列上のSMAWKアルゴリズムを用いて、Õ(n)時間で解けることが示され、その効率性はコア問題の単純さに起因することが説明された。