[論文レビュー] On the fine spectrum of the second order difference operator over the sequence spaces \ell_p and bv_p, (1 < p < \infty)

Vatan Karakaya, Manaf Dzh. Manafov+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2011

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$1 < p < \infty$ における列空間 $\ell_p$ および $bvp$ における対称三重帯行列作用素 $U(s, r, s)$ の微細スペクトルを決定する。スペクトル理論および漸化式を用いて、点スペクトルおよび残渣スペクトルが空であることを証明し、連続スペクトルが閉区間 $[r - 2s, r + 2s]$ に等しいことを示す。これにより、両空間における微細スペクトルが完全に特徴づけられる。

ABSTRACT

In general, it is well known the behaviors of the symmetric tri-band matrices on the Hilbert spaces. But the symmetric tri-band matrices have different the behavior on the Banach spaces. The main purpose of this work is to determine the fine spectra of the operator U(s, r, s) defined by symmetric tri-band matrix over the sequence spaces {\ell}_p and bvp.

研究の動機と目的

• 第二階差作用素 $U(s, r, s)$ の $\ell_p$ および $bvp$ 空間における微細スペクトルを決定すること。
• バナッハ空間における対称三重帯行列の挙動を分析し、ヒルベルト空間におけるそれらのスペクトル的性質と区別すること。
• $\ell_p$ および $bvp$ におけるこの作用素のスペクトルを点スペクトル、連続スペクトル、残渣スペクトルに完全に分解すること。
• 差分作用素およびセザロ作用素のスペクトルに関する既存の結果を、対称三重帯行列のケースに拡張すること。

提案手法

• リゾルベント集合、スペクトル、およびその点スペクトル、連続スペクトル、残渣スペクトルへの分解といったスペクトル理論の概念を用いる。
• 固有値を分析するために漸化式と特性方程式を適用し、$q = (r - \lambda)/s$ を用いて $x_{k+2} + qx_{k+1} + x_k = 0$ を解く。
• ミンコフスキーの不等式を用いて、$U(s, r, s)$ が $bvp$ 上で有界であることを証明し、$\|U(s, r, s)x\|_{bvp} \leq (2|s| + |r|)\|x\|_{bvp}$ を示す。
• 双対性および随伴作用素の性質を用い、$U^*(s, r, s) = U(s, r, s)$ であることから、$p^{-1} + q^{-1} = 1$ を満たす $\ell_p$ および $\ell_q$ 間のスペクトルを関連付ける。
• $\lambda \notin [r - 2s, r + 2s]$ の場合に、$(U(s, r, s) - \lambda I)^{-1}$ のリゾルベント作用素が $\ell_p$ 上で有界であることを分析する。
• $\lambda = r$ の場合に逆元が存在しないこと、および $\lambda \in [r - 2s, r + 2s]$ の場合に逆元が有界でないか、または稠密に定義されないことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称三重帯行列作用素 $U(s, r, s)$ の $\ell_p$（$1 < p < \infty$）における完全な微細スペクトルは何か？
• RQ2 $bvp$ における $U(s, r, s)$ のスペクトルは、$\ell_p$ におけるそれとどのように異なるか？
• RQ3 $\ell_p$ および $bvp$ における $U(s, r, s)$ の点スペクトルおよび残渣スペクトルが空である理由は何か？
• RQ4 特性方程式 $x^2 + qx + 1 = 0$ が $U(s, r, s)$ のスペクトル的性質を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 バナッハ空間における対称三重帯行列のスペクトル的挙動は、ヒルベルト空間におけるそれとどのように異なるか？

主な発見

• $\ell_p$ における点スペクトル $\sigma_p(U(s, r, s), \ell_p)$ は空であり、作用素に固有値が存在しないことを意味する。
• $\ell_p$ における残渣スペクトル $\sigma_r(U(s, r, s), \ell_p)$ も空であり、範囲が稠密でないような $\lambda$ が存在しないことを示す。
• $\ell_p$ における連続スペクトル $\sigma_c(U(s, r, s), \ell_p)$ は閉区間 $[r - 2s, r + 2s]$ に等しく、これがスペクトルを完全に特徴づける。
• $bvp$ に対しても同様のスペクトル分解が成り立つ：$\sigma_p(U(s, r, s), bvp) = \emptyset$、$\sigma_r(U(s, r, s), bvp) = \emptyset$、$\sigma_c(U(s, r, s), bvp) = [r - 2s, r + 2s]$。
• $\ell_p$ および $bvp$ における $U(s, r, s)$ のスペクトルは、$[r - 2s, r + 2s]$ に正確に等しく、他のスペクトル的成分は存在しない。
• $p^{-1} + q^{-1} = 1$ を満たす $\ell_q$ における随伴作用素 $U^*(s, r, s)$ の点スペクトルは空であり、双対性の一貫性が確認される。