[論文レビュー] On the finite element approximation of a semicoercive Stokes variational inequality arising in glaciology

Gonzalo G. de Diego, Patrick E. Farrell+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2021

Cryospheric studies and observations被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、氷河力学における接地線を含む半強制的ストークス変分不等式を解くためにラグランジュ乗数を用いた混合有限要素法を提案する。剛体モードの存在にもかかわらず、剛体モードへの新しい射影作用素とコーナー型不等式により、最適収束速度が達成可能である。数値的に製造された解を用いて検証された。

ABSTRACT

Stokes variational inequalities arise in the formulation of glaciological problems involving contact. We consider the problem of a two-dimensional marine ice sheet with a grounding line, although the analysis presented here is extendable to other contact problems in glaciology, such as that of subglacial cavitation. The analysis of this problem and its discretisation is complicated by the nonlinear rheology commonly used for modelling ice, the enforcement of a friction boundary condition given by a power law, and the presence of rigid modes in the velocity space, which render the variational inequality semicoercive. In this work, we consider a mixed formulation of this variational inequality involving a Lagrange multiplier and provide an analysis of its finite element approximation. Error estimates in the presence of rigid modes are obtained by means of a specially-built projection operator onto the subspace of rigid modes and a Korn-type inequality. These proofs rely on the fact that the subspace of rigid modes is at most one-dimensional. Numerical results are reported to validate the error estimates.

研究の動機と目的

• 氷河力学におけるストークス変分不等式の有限要素離散化について、特に接地線と接触条件を含む場合の形式的数学的解析の不足に対処すること。
• 剛体モード（問題を半強制的にする要因）の存在、非線形な氷の流れ則、およびべき乗則摩擦境界条件に起因する課題を克服すること。
• 接触条件を正確に強制するためにラグランジュ乗数を用いた構造保存型混合有限要素法を構築すること。
• 特殊な射影作用素の構築とコーナー型不等式の活用により、剛体モードが存在する状況下でも厳密な誤差推定を確立すること。

提案手法

• 接地線における接触条件を弱く強制するためのラグランジュ乗数を用いた混合変分式を提案し、非貫通制約の離散的満たしを保証する。
• 1次元の剛体モード部分空間への新しい射影作用素を導入し、誤差解析に不可欠なコーナー型不等式を満たす。
• 変分不等式における氷の非線形的・非ニュートン流体的流れ則を扱うために、オリチツ空間理論およびN関数解析の技術を用いる。
• 収束に不可欠な離散的インフラ・サブ条件の安定性と一様有界性を確保するため、フォルティン型作用素構成を用いる。
• 重み付きレベーグ空間およびソボレフ空間における最良近似誤差推定を適用し、速度、圧力、およびラグランジュ乗数の収束速度を導出する。
• 製造された解を用いた数値実験により理論的結果を検証し、2次速度、区分的定数圧力および乗数の有限要素スキームを用いる。

Figure 1: Geometry of the problem under consideration. The domain $\Omega$ represents a half of a symmetric marine ice sheet. The boundary of $\Omega$ is partitioned into $\Gamma_{b}$ (the ice-bedrock interface), $\Gamma_{s}$ (the ice-ocean and ice-atmosphere interface), and $\Gamma_{d}$ (the symmet

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、海洋氷床力学に由来する半強制的ストークス変分不等式を、正確かつ安定的に有限要素法で離散化できるか？
• RQ2 剛体モードは、氷河力学における接触問題の有限要素近似の収束挙動にどのように寄与するか？
• RQ3 剛体モードへの射影作用素を構築できるか。その作用素がコーナー型不等式を満たすことで、半強制的問題における最適誤差推定が可能になるか？
• RQ4 非線形な流れ則とべき乗則摩擦境界条件は、有限要素スキームの収束にどのように影響を与えるか。これらは混合式で扱えるか？
• RQ5 ラグランジュ乗数を用いた混合式は、標準的な式と比較して、接地線位置の解像度をどの程度向上させるか？

主な発見

• 1次元の剛体モード部分空間への新しい射影作用素が構築され、コーナー型不等式を満たし、半強制的設定下での誤差推定を可能にする。
• 剛体モード空間が高々1次元であるという仮定の下で、速度、圧力、およびラグランジュ乗数の有限要素近似において最適収束速度が証明された。
• ラグランジュ乗数を用いた混合式により、丸め誤差の範囲内で接触条件が離散的に厳密に満たされ、接着領域と剥離領域の明確な区別が可能になる。
• 2次速度および区分的定数圧力／ラグランジュ乗数スキームを用いた数値実験により、製造された解に対する予測された収束速度が確認された。
• 解析は、地下氷下の空洞形成（cavitation）を含む関連問題へも拡張可能であり、海洋氷床を越えて広範な適用性を示す。
• 収束解析はオリチツ連続性およびN関数技術に依拠しており、[4, 29]の手法を非線形氷の流れ則に対応させる形で適応した。