[論文レビュー] On the finiteness of Bass numbers of local cohomology modules and Cominimaxness

Kamal Bahmanpour, Reza Naghipour+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2013

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、局所コhomology加群におけるBass数の有限性とcominimax性の関係を調査する。正則局所環 $R$ に対して、すべての $\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}R$ に対して、Bass数 $\mu^0(\mathfrak{p}, H^2_I(R))$ および $\mu^1(\mathfrak{p}, H^2_I(R))$ が有限であることを証明し、$\dim R/I = 2$ のとき、$H^i_I(M)$ が有限Goldie次元を持つことを確立する。主たる貢献は、$\dim R/I = 2$ のとき、$H^i_I(M)$ のBass数が有限であるための必要十分条件として、$H^i_I(M)$ が $I$-cominimaxであることであると特徴づけることである。

ABSTRACT

In this paper, we continue the study of cominimaxness modules with respect to an ideal of a commutative Noetherian ring (cf. \cite{ANV}), and Bass numbers of local cohomology modules. Let $R$ denote a commutative Noetherian local ring and $I$ an ideal of $R$. We first show that the Bass numbers $μ^0(\frak p, H^2_I(R))$ and $μ^1(\frak p, H^2_I(R))$ are finite for all $\frak p\in \Spec R$, whenever $R$ is regular. As a consequence, it follows that the Goldie dimension of $H^2_I(R)$ is finite. Also, for a finitely generated $R$-module $M$ of dimension $d$, it is shown that the Bass numbers of $H^{d-1}_{I}(M)$ are finite if and only if $\Ext^i_R(R/I, H^{d-1}_{I}(M))$ be minimax for all $i\geq0$. Finally, we prove that if $\dim R/I=2$, then the Bass numbers of $H^{n}_{I}(M)$ are finite if and only if $\Ext^i_R(R/I, H^{n}_{I}(M))$ be minimax, for all $i\geq0$, where $n$ is a non-negative integer.

研究の動機と目的

• Noether局所環 $R$ 上の有限生成 $R$-加群 $M$ に対する局所コhomology加群 $H^i_I(M)$ におけるBass数の有限性を調査すること。
• cofinite加群の一般化である $I$-cominimax加群の局所コhomologyにおける研究を拡張すること。
• 特に $\dim R/I = 2$ の場合に注目し、局所コhomology加群のBass数が有限であるための条件を提示すること。
• $\dim R/I = 2$ のとき、Bass数の有限性と $H^i_I(M)$ の $I$-cominimax性の間の関係を特徴づけること。

提案手法

• 局所コhomologyの定義 $H^i_I(M) = \varinjlim_n \operatorname{Ext}^i_R(R/I^n, M)$ を用いて加群構造を分析する。
• Z"{o}schinger が示した等価条件を用いて、minimax加群（Artinian商を持つ有限生成部分加群）の概念を応用する。
• $I$-cominimax加群の概念を活用する：$\operatorname{Supp}_R(M) \subseteq V(I)$ かつすべての $i \geq 0$ に対して $\operatorname{Ext}^i_R(R/I, M)$ がminimaxであること。
• 次元 $d$ の有限生成 $R$-加群 $M$ に対して $H^1_{\mathfrak{m}}(H^{d-1}_I(M))$ がArtinianであるという結果を活用し、$H^{d-1}_I(M)$ の構造を制御する。
• $H^i_I(M) \cong H^i_{I+\operatorname{Ann}_R(M)}(M)$ という同型を用いて、問題を $\dim R/I = 2$ または $3$ の場合に帰着させる。
• 文献[5]の補題2.10を応用し、Bass数が無限大である場合に、関連素イデアルの台を最大イデアルに制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則局所環 $R$ および $R$ のイデアル $I$ に対して、すべての $\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}R$ に対して $\mu^0(\mathfrak{p}, H^2_I(R))$ および $\mu^1(\mathfrak{p}, H^2_I(R))$ が有限であるか？
• RQ2 次元 $d$ の有限生成 $R$-加群 $M$ に対して、$H^{d-1}_I(M)$ のBass数が有限であるのはいつか？
• RQ3 $\dim R/I = 2$ のとき、$H^i_I(M)$ のBass数が有限であるための正確な条件は何か？
• RQ4 $\dim R/I = 2$ のとき、$H^i_I(M)$ が $I$-cominimaxであることと、そのBass数が有限であることは同値か？
• RQ5 $\dim R/I = 2$ のとき、$\mu^j(\mathfrak{p}, H^i_I(M)) = \infty$ となる素イデアル $\mathfrak{p}$ の集合には何が言えるか？

主な発見

• 正則局所環 $R$ に対して、すべての $\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}R$ に対して $\mu^0(\mathfrak{p}, H^2_I(R))$ および $\mu^1(\mathfrak{p}, H^2_I(R))$ は有限であり、これはHuneke予想の部分的証明である。
• 正則環 $R$ のとき、$H^2_I(R)$ のGoldie次元は、そのBass数の有限性に起因して有限である。
• 次元 $d$ の有限生成 $R$-加群 $M$ に対して、$H^{d-1}_I(M)$ のBass数が有限であることと、すべての $i \geq 0$ に対して $\operatorname{Ext}^i_R(R/I, H^{d-1}_I(M))$ がminimaxであることとは同値である。
• $\dim R/I = 2$ のとき、$H^i_I(M)$ のBass数が有限であることと、$H^i_I(M)$ が $I$-cominimaxであることとは同値であり、完全な特徴づけが得られた。
• $\dim R/I = 2$ のとき、集合 $\Sigma = \{\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}R \mid \mu^j(\mathfrak{p}, H^i_I(M)) = \infty \text{ となるある } i,j\}$ は可算であり、$\operatorname{Max}(R)$ に含まれる。
• $\mathfrak{m} \not\in \bigcup_{i \geq 0} \operatorname{Ass}_R(H^i_I(M))$ ならば、$\dim R/I = 2$ の仮定のもとで、すべての $j \geq 0$ および $i \geq 0$ に対して $\operatorname{Ext}^j_R(R/\mathfrak{m}, H^i_I(M))$ は有限生成である。