[論文レビュー] On the finiteness of the Morse Index for Schrödinger operators

Baptiste Devyver|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2010

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 6被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、完備なリーマン多様体上のシュレーディンガー作用素 $ H = \Delta + V $ のモーツィー指数の有限性と、コンパクト集合の外部で $ H\varphi = 0 $ を満たす正の解の存在との間の正確な同値性を確立する。主な貢献は、ドーブ変換とコンパクトな有界補助関数を持つシュレーディンガー作用素の放物的理論を用いて、有限なモーツィー指数が正の解の存在を含意すること、および逆にその逆も成り立つことを証明することにある。

ABSTRACT

Let H=$Δ+V$ be a Schrödinger on a complete non-compact manifold. It is known since the work of Fischer-Colbrie and Schoen that the finiteness of the negative spectrum of $H$ implies the existence of a function $ϕ$ solution of $Hϕ=0$ outside a compact set. This has consequences for minimal surfaces and for the finiteness of spaces of harmonic sections in the Bochner method. Here we show that the converse statement also holds: if there exists $ϕ$ solution of $Hϕ=0$ outside a compact set, then $H$ has a finite number of negative eigenvalues.

研究の動機と目的

• 完備なリーマン多様体上のシュレーディンガー作用素 $ H = \Delta + V $ のモーツィー指数の有限性の必要十分条件を確立すること。
• コンパクト集合の外部で $ H\varphi = 0 $ を満たす正の解が存在するという事実が、無限個の負の固有値と同時に成立しうるかどうかという未解決の問題を解明すること。
• このような正の解の存在が有限なモーツィー指数と同値であることを示し、シュレーディンガー作用素のスペクトル理論におけるギャップを埋めること。
• ドーブ変換とスペクトルギャップ解析を用いて、ボッハナー法と放物的理論の適用範囲を一般のシュレーディンガー作用素へ拡張すること。

提案手法

• 元のシュレーディンガー作用素 $ H = \Delta + V $ をドーブ変換により新しい作用素 $ L = \varphi^{-1}H\varphi $ に変換し、コンパクトに有界な有界補助関数 $ \tilde{V} $ を持つ形式 $ \Delta_{\varphi^2} + \tilde{V} $ に変形する。
• 変換後の作用素 $ L $ は非負の有界補助関数 $ \tilde{V} $ を持つため、標準的なスペクトル理論および放物的理論の適用が可能になる。
• 重み付きスペクトルギャップを用いた放物的・非放物的シュレーディンガー作用素の二分岐性を活用し、特に非正の固有値の有限性を含めた $ L $ のスペクトル的性質を分析する。
• テスト関数によるレイリー商の議論を用いて、任意のシュレーディンガー作用素 $ L = \Delta_{\mu} + W $ に対して $ W \geq 0 $ のもとで非正固有値の数が有限であることを証明する。
• 元の作用素 $ H $ と $ L $ との間でコンパクトに有界な有界補助関数の差があることを利用し、$ L $ における有限性結果を $ H $ へと逆方向に持ち帰り、モーツィー指数の有限性を確立する。
• 文献[9]における重み付きスペクトルギャップおよび臨界性（放物的性）の理論を応用し、符号が変化する有界補助関数を持つ作用素に対しても、摂動後にスペクトルギャップ条件が保たれることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト集合の外部で $ H\varphi = 0 $ を満たす正の解の存在は、$ H = \Delta + V $ の有限なモーツィー指数と同値であるか？
• RQ2 有限なモーツィー指数を持つシュレーディンガー作用素が、0に集積する無限個の負の固有値を有し得るか？
• RQ3 モーツィー指数の有限性は、コンパクト集合の外部でシュレーディンガー方程式の正の解の存在を含意するか？
• RQ4 ドーブ変換と放物的理論を用いて、一般のシュレーディンガー作用素のモーツィー指数の有限性を証明できるか？
• RQ5 有界補助関数 $ V $ にどのような条件を課すと、シュレーディンガー作用素 $ H $ が有限なモーツィー指数を持つようになるか？

主な発見

• 完備なリーマン多様体上のシュレーディンガー作用素 $ H = \Delta + V $ のモーツィー指数は、コンパクト集合の外部で $ H\varphi = 0 $ を満たす正の $ C^\infty $ 関数 $ \varphi \in W^{1,2}_{\text{loc}} $ が存在するための必要十分条件である。
• モーツィー指数が有限である限り、$ H $ の $ L^2 $ 内の核は有限次元である。
• ドーブ変換 $ L = \varphi^{-1}H\varphi $ は、$ H $ を有界補助関数を持つシュレーディンガー作用素に変換し、スペクトルの有限性結果の適用を可能にする。
• 任意のシュレーディンガー作用素 $ L = \Delta_{\mu} + W $ に対して $ W \geq 0 $ ならば、テスト関数に基づくレイリー商の議論により非正固有値の数が有限であることが示される。
• 重み付きスペクトルギャップ（すなわち非放物的性）の存在は、有界補助関数が非負でない場合でも、非正固有値の数が有限のまま保たれることを保証する。
• 有界補助関数 $ W \geq 0 $ を持つ形の作用素 $ H = \Delta_{\mu} + W + V $ に対しても、モーツィー指数の有限性は安定であり、このような摂動に対しても成立する。