[論文レビュー] On the first Banhatti-Sombor index

Zhen Lin, Ting Zhou+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2021

Graph theory and applications参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、最初のバナッティ・ソモボ指数を導入し、分析する。これは頂点次数に基づく新しいトポロジカル指標であり、$BSO(G) = \sum_{uv\in E(G)} \sqrt{\frac{1}{d_u^2} + \frac{1}{d_v^2}}$ として定義される。他のトポロジカル指標との数学的関係を確立し、極値となる木構造を同定する：すべての木において、パス $P_n$ が指数を最小化し、スターツリー $K_{1,n-1}$ が最大化する。化学的木構造においては、すべての非葉頂点の次数が 2 または 3 である場合に最大値が達成され、あるモジュラー条件を満たす。

ABSTRACT

Let $d_v$ be the degree of the vertex $v$ in a connected graph $G$. The first Banhatti-Sombor index of $G$ is defined as $BSO(G) =\sum_{uv\in E(G)}\sqrt{\frac{1}{d^2_u}+\frac{1}{d^2_v}}$, which is a new vertex-degree-based topological index introduced by Kulli. In this paper, the mathematical relations between the first Banhatti-Sombor index and some other well-known vertex-degree-based topological indices are established. In addition, the trees extremal with respect to the first Banhatti-Sombor index on trees and chemical trees are characterized, respectively.

研究の動機と目的

• Sombor指標から導かれる新しい頂点次数に基づくトポロジカル指標として、最初のバナッティ・ソモボ指数を導入し、調査すること。
• 最初のバナッティ・ソモボ指数と、ランディッチ、ザグレブ、調和指標など、他のよく知られた頂点次数に基づくトポロジカル指標との間の数学的関係を確立すること。
• すべての次数 $n$ の木の中で、最初のバナッティ・ソモボ指数を最小化および最大化する木構造を同定すること。
• 特に次数制約の下で、化学的木構造における指数の極値を特定すること。

提案手法

• 最初のバナッティ・ソモボ指数は、頂点次数に基づき、$BSO(G) = \sum_{uv\in E(G)} \sqrt{\frac{1}{d_u^2} + \frac{1}{d_v^2}}$ として形式的に定義される。
• 著者らは、組み合わせ的恒等式と次数の分割を用いて、次数 $i$ と $j$ の頂点間の辺タイプ $m_{i,j}$ を用いて $BSO(T_n)$ を表現する。
• 補題 2.2 および補題 2.3 からの不等式を適用し、指数の境界を導出し、極値条件を分析する。
• 指数式における係数の符号を分析することで、極値構造を同定する：正の係数は非ゼロのとき最大化を示し、負の係数は最小化を示す。
• 化学的木構造においては、制約 $n-2 \equiv 0 \pmod{3}$ の下で境界が導かれる。これにより閉形式の上界が得られる。
• 矛盾による証明と係数分析を通じて、極値構造が示され、等号は特定の木の型にのみ成立することが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最初のバナッティ・ソモボ指数と他の古典的頂点次数に基づくトポロジカル指標（例：ランディッチ、ザグレブ、調和指標）との数学的関係は何か？
• RQ2 すべての次数 $n$ の木の中で、最初のバナッティ・ソモボ指数を最小化する木構造は何か？
• RQ3 すべての次数 $n$ の木の中で、最初のバナッティ・ソモボ指数を最大化する木構造は何か？
• RQ4 化学的木構造における最初のバナッティ・ソモボ指数の極値は何か？また、どのような構造的条件下で達成されるか？

主な発見

• パスグラフ $P_n$ が最初のバナッティ・ソモボ指数を最小化し、$BSO(P_n) = \frac{\sqrt{2}}{2}(n-3) + \sqrt{5}$ となる。
• スターツリー $K_{1,n-1}$ がすべての木の中で指数を最大化し、$BSO(K_{1,n-1}) = \sqrt{1 + (n-1)^2}$ を達成する。
• 次数 $n$ の化学的木構造で $n-2 \equiv 0 \pmod{3}$ を満たす場合、最大指数は $\frac{2\sqrt{17}(n+1) + \sqrt{2}(n-5)}{12}$ で抑えられ、等号は $n_2 = n_3 = 0$ のときにのみ成立する。
• 係数関数 $f(x,y)$ が $x,y \geq 2$ に対して正であるため、すべての辺が次数 1 と 2 の頂点間にある場合に指数が最小化され、これはパス $P_n$ に対応する。
• 係数分析により、$BSO(T_n)$ は高次度頂点ペアの数に応じて増加することが示され、スターツリーが最大化者であることが確認される。
• 指数式は異なる次数ペアからの寄与に分解され、極値性は係数関数 $f(x,y)$ および $g(x,y)$ の符号分析を通じて証明される。