[論文レビュー] On the first hitting times of one dimensional elliptic diffusions

Noufel Frikha, Arturo Kohatsu‐Higa+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2016

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、1次元の均一な強楕円型拡散過程における最初の到達時および吸収された拡散過程の遷移密度の存在、正則性、およびガウス型上界を、パラメトリックス法を用いて確立する。密度の明示的な級数展開が得られ、ドリフトおよび拡散係数の弱い滑らかさ仮定のもとで、不偏モンテカルロシミュレーションに有用な確率的表現が提供される。

ABSTRACT

In this article, we obtain properties of the law associated to the first hitting time of a threshold by a one-dimensional uniformly elliptic diffusion process and to the associated process stopped at the threshold. Our methodology relies on the parametrix method that we apply to the associated Markov semigroup. It allows to obtain explicit expressions for the corresponding transition densities and to study its regularity properties up to the boundary under mild assumptions on the coefficients. As a by product, we also provide Gaussian upper estimates for these laws and derive a probabilistic representation that may be useful for the construction of an unbiased Monte Carlo path simulation method, among other applications.

研究の動機と目的

• 1次元の均一な強楕円型拡散過程が閾値に最初に到達するまでの時間の分布を解析すること。
• 境界で停止する関連する吸収された拡散過程の遷移密度を研究すること。
• 最初の到達時間の密度および吸収過程の密度に対する正則性特性と鋭いガウス型上界を確立すること。
• 不偏モンテカルロパスシミュレーションに有用な可能性を有する、パラメトリックス展開による確率的表現を開発すること。
• 既存の最初の通過時間密度に関する結果を、滑らかでない係数へと拡張するために、半群に基づくパラメトリックスアプローチを用いること。

提案手法

• 吸収された拡散過程に関連するマルコフ半群にパラメトリックス法を適用する。
• 遷移カーネル $ P_t h(u,x) $ の無限級数展開を構築し、これは $ (u + \tau^{u,x}_{u+t}, X^{u,x}_{u+\tau^{u,x}_{u+t}}) $ の分布を表す。
• 境界 $ L $ での吸収に起因する関連分布の特異的挙動を扱うために摂動技法を用いる。
• 密度成分の明示的表現を導出する：$ p^{K,N}(x,t) $ は到達時間の密度、$ p^{D,N}_T(x,z) $ は吸収状態の密度を表す。
• $ p^{K,N}(x,t) $ および $ p^{D,N}_T(x,z) $ の級数のコンパクト集合上で一様かつ絶対収束することを確立する。
• 優越収束定理と $ N \to \infty $ の極限操作を適用し、$ N $ に依存しないガウス型上界を保つ極限密度 $ p_T(u,x,dt,dz) $ を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかでない係数をもつ1次元楕円型拡散過程に対して、最初の到達時間密度は存在し、正則性を保つのか？
• RQ2 パラメトリックス法は、最初の到達時間と吸収過程の特異的関連分布を扱うために適応可能か？
• RQ3 最初の到達時間および吸収拡散過程の密度に対する鋭いガウス型上界は何か？
• RQ4 不偏モンテカルロシミュレーションに適した遷移密度の確率的表現を導出可能か？
• RQ5 密度の正則性および上界は、ドリフトおよび拡散係数の滑らかさにどのように依存するか？

主な発見

• 係数の弱い滑らかさ仮定のもとで、過程 $ (u + \tau^{u,x}_{u+t}, X^{u,x}_{u+\tau^{u,x}_{u+t}}) $ の遷移密度は存在し、滑らかである。
• 密度は一様なガウス型上界を有する：$ p^{K,N}(x,t) \leq C t^{-1/2} g(ct, L - x) $ および $ p^{D,N}_T(x,z) \leq C g(cT, z - x) $、ここで定数 $ C, c > 1 $ は $ N $ に依存しない。
• 級数展開 $ p^{K,N}(x,t) $ および $ p^{D,N}_T(x,z) $ は、$ (0,T] \times (-\infty,L] \times \mathbb{R} $ のコンパクト集合上で絶対的かつ一様に収束する。
• 極限密度 $ p_T(u,x,dt,dz) $ は、$ N \to \infty $ の極限としてパラメトリックス展開から得られ、ガウス型上界を保つ。
• 半群 $ P_T h(u,x) $ の確率的表現は正当であり、級数構造のおかげで不偏シミュレーションが可能である。
• 本手法は滑らかでない係数へも拡張可能であり、退化または滑らかでない設定における密度推定において、マリヤン・カーリュクスの手法の代替として強固である。