[論文レビュー] On the first-passage time of an integrated Gauss-Markov process

Mario Abundo|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 34被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、統合されたガウス・マコフ過程の最初の通過時刻（FPT）および最初の外れ時刻を調査し、統合ブラウン運動の結果を一般化する。統合過程を時間変換付きブラウン運動として表現することにより、特に初期速度がゼロの場合のFPT密度およびモーメントの明示的公式を導出し、区間上での外れ時刻モーメントについて級数表現を提供する。数値的に確認された結果として、$ L^{2/3} $ スケーリングを有するオルンシュタイン＝ウーレンバック過程のケースが得られている。

ABSTRACT

It is considered the integrated process $X(t)= x + \int _0^t Y(s) ds ,$ where $Y(t)$ is a Gauss-Markov process starting from $y.$ The first-passage time (FPT) of $X$ through a constant boundary and the first-exit time of $X$ from an interval $(a,b)$ are investigated, generalizing some results on FPT of integrated Brownian motion. An essential role is played by a useful representation of $X,$ in terms of Brownian motion which allows to reduces the FPT of $X$ to that of a time-changed Brownian motion. Some explicit examples are reported; when theoretical calculation is not available, the quantities of interest are estimated by numerical computation.

研究の動機と目的

• 統合ブラウン運動の最初の通過時刻（FPT）結果を、より広範な統合ガウス・マコフ過程のクラスへ一般化すること。
• 統合過程が有界区間 $ (a,b) $ から最初に外れる時刻（最初の外れ時刻）を分析し、統合ブラウン運動に対して既知の結果を拡張すること。
• 統合過程を時間変換付きブラウン運動として表現することにより、コルモゴロフ方程式を解かずに簡素な解析が可能になるようにすること。
• 特に初期速度 $ y = 0 $ の場合に、FPT密度およびモーメントの明示的表現を導出し、閉形式が得られない場合には推定を行うこと。
• 区間長 $ L = b - a $ に対する平均外れ時刻の $ L^{2/3} $ スケーリングが、統合ブラウン運動の既存結果と整合することを確認すること。

提案手法

• 統合ガウス・マコフ過程 $ X(t) = x + \int_0^t Y(s)ds $ を、分散関数 $ \gamma(\rho(t)) $ に基づく変換を用いて時間変換付きブラウン運動として表現する。
• 表現 $ X(t) = x + M(t) + \widehat{B}(\widehat{\rho}(t)) $ を用い、ここで $ \widehat{B} $ は標準ブラウン運動で $ \widehat{\rho}(t) = \gamma(\rho(t)) $ である。これにより、FPT問題を時間変換付きブラウン運動の問題に還元する。
• ブラウン運動の最初の通過時刻に関する既知の結果を適用し、特に $ y = 0 $ の場合に $ X $ のFPT密度およびモーメントを導出する。
• 二重境界問題に対しては、第一外れ時刻の $ n $ 次モーメントを、フーリエ余弦展開を活用した初等関数を含む級数として表現する。
• 閉形式解が得られない場合のモーメント式における積分を、被積分関数の指数的減衰を利用して計算領域を制限しながら数値的に評価する。
• 期待外れ時刻のランダムな初期位置に関する式において、和と積分の交換を正当化するためにドミネートドコンバージェンス定理を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数境界を通過する統合ガウス・マコフ過程の最初の通過時刻分布は何か？
• RQ2 統合ガウス・マコフ過程の区間 $ (a,b) $ からの最初の外れ時刻のモーメントは、どのように振る舞うか？
• RQ3 統合ガウス・マコフ過程の最初の外れ時刻は、初等関数の級数として表現可能か？
• RQ4 平均外れ時刻の区間長 $ L = b - a $ に対するスケーリングは何か？また、統合ブラウン運動で観察された $ L^{2/3} $ の法則に従うか？
• RQ5 初期速度 $ y = 0 $ の場合、統合過程の外れ確率 $ \pi_a(x,0) $ および $ \pi_b(x,0) $ はどのように振る舞うか？

主な発見

• 初期速度 $ y = 0 $ の場合、区間 $ (a,b) $ からの最初の外れ時刻の $ n $ 次モーメントは、初等関数のみを含む収束級数として表現可能であり、解析的および数値的計算が可能になる。
• 一様分布の初期位置を持つ場合の平均外れ時刻 $ \overline{T}_{a,b} $ は $ (b-a)^{2/3} $ に比例し、統合ブラウン運動で観察された $ L^{2/3} $ スケーリング法則を確認した。
• 初期速度 $ y = 0 $ の統合オルンシュタイン＝ウーレンバック過程に対して、平均外れ時刻を $ x \in (-1,1) $ の関数として数値的に計算し、プロットした。これにより、再帰パラメータ $ \mu $ 依存性が明らかになった。
• 統合オルンシュタイン＝ウーレンバック過程の最初の外れ時刻の分散は有界であり、最大平均外れ時刻の約5%に達するが、相対的に変動が小さいことが示された。
• 初期位置が密度 $ g(x) $ に従う確率的分布の場合、平均外れ時刻 $ \overline{T}_{a,b} $ は $ E[U_k] $ を含む級数として表現可能であり、ここで $ U_k = \cos\left[\frac{\pi(2k+1)}{b-a}\left(\eta - \frac{a+b}{2}\right)\right] $ である。これにより期待値に基づく計算が可能になる。
• 外れ確率 $ \pi_a(x,0) = \frac{b-x}{b-a} $ および $ \pi_b(x,0) = \frac{x-a}{b-a} $ は閉形式で導出され、時間変換表現のおかげで、標準ブラウン運動の外れ確率と一致する。