[論文レビュー] On the first-visit-time problem for birth and death processes with catastrophes

Antonio Di Crescenzo, Virginia Giorno+2 more|ArXiv.org|Jul 15, 2003

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、崩壊を伴う出生死滅過程の最初の訪問時間分布を調査し、任意の状態 $k \in \{r, r+1, \ldots\}$ における最初の訪問時間密度のラプラス変換を導出し、その平均と分散を計算する。崩壊を伴う過程と崩壊なしの等価な過程との関係を用いることで、最初の訪問時間分布および最初の崩壊発生時刻の正確な表現が得られ、さまざまなパrameter設定下での期待値および定常分布の明示的公式が得られる。

ABSTRACT

For a birth-death process subject to catastrophes, defined on the state-space $S=\{r,r+1,r+2,...\}$, with $r$ a positive integer or zero, the first-visit time to a state $k\in S$ is considered and the Laplace transform of its probability density function is determined, use of which is then made to obtain mean and variance. The Laplace transform of the probability density function of the first effective catastrophe occurrence time and its expected value are also obtained. Some extensions to time-non-homogeneous processes are then provided. Finally, certain additional results concerning the determination of the steady-state distribution and the representation of the transition probabilities are worked out, while some applications to particular birth-death processes are shown in the Appendix.

研究の動機と目的

• 指定された非ゼロ状態における出生死滅過程の最初の訪問時間分布を特定すること。
• 状態 $k$ における最初の訪問時間の確率密度関数のラプラス変換を導出し、その平均と分散を計算すること。
• 最初の崩壊発生時刻の分析を行い、そのラプラス変換と期待値を求める。
• 結果を時不変でない過程へと拡張し、過程の定常分布を導出すること。
• 遷移確率の明示的表現を提供し、付録で具体的な出生死滅過程を用いてフレームワークを図示すること。

提案手法

• 著者らは、崩壊を伴う出生死滅過程と、それに対応する崩壊なしの過程との間の関数的関係を確立し、解析的取り扱いの容易さを図るため、後者を基準として用いる。
• 2つの過程の関係を活用して、積分方程式を解くことにより、最初の訪問時間密度のラプラス変換を導出する。
• 最初の崩壊発生時刻についても、同様の簡略化技術を用い、ポアソン分布に従う崩壊の記憶なし性質を活用してラプラス変換を求める。
• 定常分布は、逐次超幾何関数およびベータ関数を用いて導出され、出生・死滅・崩壊率の相対的大小に応じて異なる形を取る。
• 参照過程の平均公式にパrameterを代入することで、$N(t)$ の期待値の明示的表現が得られる。
• 先行研究で用いられた母関数法の適応により、時不変でない過程へと手法を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 崩壊を伴う出生死滅過程が、与えられた非吸収状態 $k \geq r$ に最初に到達するまでの時間の分布は何か？
• RQ2 崩壊が存在する場合、目標状態への最初の訪問までの期待時間は、崩壊なしの過程と比べてどのように変化するか？
• RQ3 最初の崩壊発生時刻のラプラス変換は何か？ また、その期待値は何か？
• RQ4 崩壊を伴う過程に定常分布が存在する条件は何か？ その明示的形は？
• RQ5 過程が時不変でない場合、遷移確率および最初の訪問時間分布はどのように変化するか？

主な発見

• 状態 $k$ における最初の訪問時間密度のラプラス変換が閉形式で導出され、最初の訪問時間の平均と分散の正確な計算が可能になる。
• パラメータ $\alpha \neq \beta + \xi$ の場合、初期状態 $N(0) = j$ のもとで $N(t)$ の期待値は $j e^{(\alpha - \beta - \xi)t} + \frac{\nu (e^{(\alpha - \beta - \xi)t} - 1)}{\alpha - \beta - \xi}$ となる。$\xi = 0$ のときには、これは崩壊なしのケースに還元される。
• 定常分布は $\alpha < \beta + \xi$ のとき存在し、$q_n = \xi \widehat{\pi}_{0,n}(\xi)$ で与えられる。ここで $\widehat{\pi}_{0,n}(\lambda)$ は、パrameterの設定に応じて超幾何関数およびベータ関数を用いて表現される。
• $\alpha = \beta$ のとき、定常分布は第2種の逐次超幾何関数を含み、$q_0 = \left(\frac{\xi}{\alpha}\right)^{\nu/\alpha} e^{\xi/\alpha} \Gamma\left(1 - \frac{\nu}{\alpha}, \frac{\xi}{\alpha}\right)$ となる。
• $\alpha > \beta$ のとき、定常分布は超幾何関数 $F$ とベータ関数を用いて表現され、出生率が死滅率を上回る状況を反映するようにパラメータが調整される。
• 最初の崩壊発生時刻の期待値は、崩壊率 $\xi$ の逆数として導出され、ポアソン過程の記憶なし性質と整合的である。