[論文レビュー] On-the-fly algorithm for Dynamic Mode Decomposition using Incremental Singular Value Decomposition and Total Least Squares

Daiki Matsumoto, Thomas Indinger|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2017

Fluid Dynamics and Vibration Analysis参考文献 12被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、インクリメンタルな特異値分解（SVD）と全最小二乗法を用いて、リアルタイムのDMD解析を可能にするとともに、メモリ使用量を最小限に抑える、オンザフライ処理が可能なインクリメンタル全動的モード分解（Incremental TDMD）を提案する。この手法は、全スナップショットデータを保存せずに、スパarsity促進DMD（SPDMD）による後処理を可能とし、従来のTDMD+SPDMDと同等の結果を得るとともに、計算およびストレージ要件を顕著に低減する。

ABSTRACT

Dynamic Mode Decomposition (DMD) is a useful tool to effectively extract the dominant dynamic flow structure from a unsteady flow field. However, DMD requires massive computational resources with respect to memory consumption and the usage of storage. In this paper, an alternative incremental algorithm of Total DMD (Incremental TDMD) is proposed which is based on Incremental Singular Value Decomposition (SVD). The advantage of Incremental TDMD compared to the existing on-the-fly algorithms of DMD is that Sparsity-Promoting DMD (SPDMD) can be performed after the incremental process without saving huge datasets on the disk space. SPDMD combined with Incremental TDMD enable the effective identification of dominant modes which are relevant to the results from conventional TDMD combined with SPDMD.

研究の動機と目的

• 大規模なCFDシミュレーションにおける従来の動的モード分解（DMD）の高いメモリおよびストレージ要件を解消すること。
• 全スナップショットデータセットを保存せずに、CFDシミュレーション中にオンザフライでDMD計算を実行できること。
• スパarsity促進DMD（SPDMD）と互換性を持つインクリメンタルアルゴリズムを構築し、複雑な流れの主要構造を効率的に同定すること。
• モード抽出および振幅計算の精度を保持しつつ、計算オーバーヘッドを低減すること。
• インクリメンタル処理であるにもかかわらず、インクリメンタルTDMDが従来のTDMD＋SPDMDと同等のDMDモードおよび振幅を生成することを実証すること。

提案手法

• スナップショット行列の拡張行列の特異ベクトルおよび特異値のみに依存する、代替的TDMDの代替定式化を提案し、行列の明示的逆行列を回避する。
• 新規の流れスナップショットが到着するたびに、SVD分解を段階的に更新するインクリメンタルSVDを統合し、リアルタイム処理を可能にする。
• ノイズに強い性能を向上させるために、全最小二乗法を用い、モード品質を向上させる。
• インクリメンタル処理後にスパarsity促進DMD（SPDMD）を適用し、近似誤差とモード数のバランスをとる凸最適化問題を解いて主要モードを同定する。
• 大規模な左特異ベクトルの明示的保存を回避するため、スナップショット法を効率的なSVD計算に用いる。
• 最初のスナップショットに基づく修正されたスケーリング法を用い、大規模なモード行列の疑似逆行列を計算せずに効率的な振幅計算を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全スナップショットデータを保存せずに、従来のDMDと同等の精度を維持するオンザフライDMDアルゴリズムを設計可能か？
• RQ2 インクリメンタルTDMDは、全データセットの保存を要せず、SPDMDによる後処理を介して主要モードを同定可能か？
• RQ3 インクリメンタルTDMDから得られるDMDモードおよび振幅の精度は、従来のTDMD＋SPDMDと比べてどの程度か？
• RQ4 インクリメンタルSVD処理が抽出されたDMDモードの空間的分布および周波数成分に与える影響は？
• RQ5 インクリメンタルTDMDと代替的TDMDとの間で生じる振幅およびモード構造の差異は、モードの分裂によって説明可能か？

主な発見

• インクリメンタルTDMDは、従来のTDMD＋SPDMDと同等のDMDモード振幅および空間的分布を生成し、その精度が妥当であることが検証された。
• インクリメンタルTDMDの後処理にSPDMDを適用した結果、従来手法と類似した周波数成分を持つ主要モードが効果的に同定された。
• 振幅分布にわずかな差異は見られたが、インクリメンタルTDMDの主要モードは、類似周波数における代替的TDMDのモードと一致しており、動的挙動の一貫性が示された。
• 本手法は、全スナップショットデータをディスク上に保存せず、メモリにロードせず、リアルタイムDMD解析を実現し、顕著なメモリ使用量の削減を達成した。
• インクリメンタルSVD処理により、左特異ベクトルの明示的保存を回避し、DMDモードの計算を効率的に行った。
• 修正された振幅スケーリング法により、大規模なDMDモード行列の疑似逆行列の計算を回避し、計算効率が向上した。