[論文レビュー] On the Fontaine-Mazur Conjecture for CM-Fields

Kay Wingberg|ArXiv.org|Jul 19, 2000

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、CM体におけるFontaine-Mazur予想を、不分岐p拡張とそのガロア群の分析を通じて検討する。双対定理とIwasawa理論を用いて、CM体の最大不分岐p拡張のガロア群がp-パワーである場合、理想類群のpランクまたはIwasawa μ不変量に関する特定の条件が満たされない限り、その群は有限でなければならないことを証明する。主な結果は、CM拡張におけるp-adic解析的ガロア群の条件付き有限性基準を確立する。

ABSTRACT

Fontaine and Mazur conjecture that a number field k has no infinite unramified Galois extension such that its Galois group is a p-adic analytic pro-p-group. We consider this conjecture for the maximal unramified p-extension of a CM-field k.

研究の動機と目的

• CM体の文脈においてFontaine-Mazur予想を検討し、特にp--adic解析的ガロア群をもつ無限不分岐p拡張の存在に関連して検討する。
• CM体の最大不分岐p拡張のガロア群が有限である条件を特定する。特に、それがp-パワーまたは一様である場合に注目する。
• Bostonによる有限不分岐p拡張に関する結果を、理想類群の算術的制約およびIwasawa不変量を含むCM体へと拡張する。
• 単位群、類群、ガロアコホモロジーの間の双対理論的枠組みを構築し、無限ガロア拡張に適用する。
• CM体の最大不分岐p拡張のガロア群がp-adic解析的であるならば、その最大完全実部分体上での対応する群は有限でなければならないことを証明する。

提案手法

• 無限ガロア拡張におけるS-単位群とS-類群のガロアコホモロジーにTate双対性とPoitou-Tate双対性を適用する。
• S-単位群、S-イデール群、S-類群を結ぶ完全系列を用いて、最大不分岐S拡張のガロア群に対するコホモロジー同型を導出する。
• Pontryagin双対性を通じて、最大不分岐p拡張のガロア群のコホモロジー群とp進整数環との間の双対性を適用する。
• Iwasawa理論とZ_p-拡張の構造を用いて、数体の塔におけるpランクとμ不変量の振る舞いを分析する。
• 特に、次元公式と、小さなランクのp-パワー群がZ_pに上への準同型をもつのは、有限である場合に限ることを用いて、p-パワーおよび一様なp-位相群の理論を適用する。
• p-位相群がZ_pに上に写像できるならば、類数の有限性が群が有限であることを示唆するため、無限の場合に矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CM体の最大不分岐p拡張のガロア群がp-パワーである場合、どのような条件下でそれが有限であるか？
• RQ2 最大完全実部分体の理想類群のpランクは、不分岐p拡張の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ3 Iwasawa μ不変量は、CM拡張における不分岐p拡張の有限性を決定づける役割を果たすか？
• RQ4 双対性とコホモロジー的技法を用いて、CM体におけるFontaine-Mazur予想を検証可能か？
• RQ5 CM体の最大不分岐p拡張のガロア群が無限でかつp-adic解析的であることは可能か？

主な発見

• CM体の最大完全実部分体の理想類群のpランクが1に等しくない場合、ガロア群がp-パワーであれば、常に最大不分岐p拡張のガロア群は有限である。
• 最大完全実部分体の理想類群のpランクが1である場合、1番目のサイクロトームZ_p拡張が分岐していることと、群が一様であるならば、ガロア群は依然として有限である。
• CM体kについて、そのサイクロトームZ_p拡張におけるμ不変量が0であると仮定すると、あるn₀が存在し、すべてのn ≥ n₀に対して、サイクロトームZ_p拡張のn番目の段階における最大不分岐p拡張のガロア群がp-パワーであれば、その群は有限である。
• S拡張に対しても同様の結果が成り立ち、Sが無限遠点を含み、Sの任意の素点がk/k⁺で分解しない場合、理想類群はS-理想類群に置き換えられる。
• CM体の最大不分岐p拡張のガロア群がp-adic解析的であるならば、その最大完全実部分体上での対応するガロア群は有限でなければならない。
• 証明は、小さなランク（≤2）の無限p-パワーp-位相群がZ_pに上に写像できると仮定すると、類数の有限性に反するため、群が有限でなければならないことを示すことに依拠している。